4.3. Первый признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Равные треугольники — треугольники, которые при наложении полностью совпадают. Значит, каждой стороне одного треугольника соответствует равная ей сторона другого, а каждому углу — равный угол. Это понятие позволяет говорить не только о совпадении фигур, но и о равенстве всех их соответствующих элементов.

Соответствующие вершины — вершины двух треугольников, которые совмещаются при наложении. По совпавшим вершинам определяют, какие стороны и углы нужно сравнивать: стороны, соединяющие соответствующие вершины, тоже соответствуют друг другу. Это помогает правильно записать равенство треугольников и не перепутать элементы.

Первый признак равенства треугольников — теорема: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Признак нужен, чтобы доказать равенство треугольников по трём элементам, а затем получить равенство остальных сторон и углов. Слово «соответственно» означает, что сравниваются элементы, занимающие одинаковое положение.

Угол между сторонами — угол, образованный двумя выбранными сторонами треугольника. Например, между сторонами AB и AC находится угол ∠A, потому что обе стороны выходят из вершины A. Это уточнение необходимо: для первого признака подходит именно угол, заключённый между сравниваемыми сторонами, а не любой угол треугольника.

Как это устроено

Чтобы определить соответствующие элементы, представьте, что один треугольник накладывают на другой. Вершины, которые оказываются в одном месте, соответствуют друг другу; соединяющие их стороны также накладываются. Углы при этих вершинах совпадают вместе с фигурами. Поэтому сначала удобно установить соответствие вершин, а уже после сравнивать стороны и углы.

Для первого признака недостаточно увидеть в каждом треугольнике две одинаковые по длине стороны. Нужно знать, как они расположены: величина угла между ними определяет раскрытие этих сторон. Если угол не задан или взят не между выбранными сторонами, положение третьей вершины не зафиксировано условием признака. Поэтому проверяют сразу две пары сторон и угол, который образуют эти стороны.

Доказательство признака можно представить наложением. Совместим одну пару равных сторон так, чтобы их концы совпали, а затем совместим равные углы при этих сторонах. Вторые стороны углов совпадут по направлению, а благодаря равенству их длин совпадут и их концы. Эти концы являются третьими вершинами треугольников, так что фигуры наложатся полностью.

Почему третьи вершины совпадают? После совмещения концов первой стороны третья вершина каждого треугольника находится на заданном расстоянии от одного конца: это длина второй стороны. Одновременно она находится на заданном расстоянии от другого конца, потому что совпадает и угол, а вторая сторона расположена на одном и том же луче. Точка, полученная на этом луче на заданном расстоянии, одна и та же, поэтому третьи вершины совпадают.

Равенство записывают, перечисляя соответствующие вершины в одинаковом порядке. Если A соответствует D, B соответствует E, C соответствует F, пишут △ABC = △DEF. Тогда AB = DE, AC = DF, BC = EF, а соответствующие углы также равны. Такой порядок позволяет сразу понять, какие элементы можно сравнивать после доказательства.

Первый признак равенства треугольников

Заполняйте строки по парам соответствующих элементов, а не просто перечисляйте все известные равенства. Угол в таблице должен находиться между указанными сторонами. Если все три условия выполнены, можно сделать вывод о равенстве треугольников.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и DEF: AB = DE, AC = DF, ∠A = ∠D. Докажите, что треугольники равны.

1. Сопоставим стороны: AB и DE, AC и DF. Их равенство дано в условии.
2. Стороны AB и AC образуют угол ∠A, а стороны DE и DF образуют угол ∠D. Эти углы также равны по условию.
3. Получили две пары равных сторон и равные углы между ними. По первому признаку △ABC = △DEF.

Ответ: △ABC = △DEF. Порядок букв верен, потому что A соответствует D, B соответствует E, C соответствует F.

Задача 2. M — середина AB, N — середина CD; AM = CN, ∠AMO = ∠CNO, MO = NO. Докажите, что △AMO = △CNO.

1. Середина делит отрезок на две равные части, поэтому AM = MB и CN = ND. Для сравнения данных треугольников достаточно равенств, указанных в условии.
2. В △AMO стороны AM и MO образуют угол ∠AMO. В △CNO стороны CN и NO образуют угол ∠CNO.
3. Имеем AM = CN и MO = NO, а заключённые между ними углы равны. По первому признаку △AMO = △CNO.

Ответ: △AMO = △CNO. В записи вершины M и N стоят на одинаковом месте, поскольку именно при них находятся равные углы.

Задача 3. △ABC и △A₁B₁C₁ равны по первому признаку; AB = 7 см, AC = 5 см, ∠A = 40°. Дано соответствие A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁. Найдите соответствующие элементы второго треугольника.

1. Сопоставляем вершины по условию: A с A₁, B с B₁, C с C₁. Значит, стороне AB соответствует A₁B₁, а стороне AC — A₁C₁.
2. У равных треугольников соответствующие стороны равны, поэтому A₁B₁ = AB = 7 см, а A₁C₁ = AC = 5 см.
3. Угол при A соответствует углу при A₁. Следовательно, ∠A₁ = ∠A = 40°.

Ответ: A₁B₁ = 7 см, A₁C₁ = 5 см, ∠A₁ = 40°.

Типичные ошибки

• Сравнивают две стороны и угол, который не лежит между ними. Так бывает, когда замечают равный угол, но не проверяют, какие стороны его образуют. Проверьте: обе ли выбранные стороны выходят из вершины этого угла? Если нет, первый признак здесь не подтверждён.

• Неверно сопоставляют вершины и записывают треугольники в неподходящем порядке. Обычно причина — запись по привычному расположению букв, а не по равным элементам. Перед выводом выпишите пары соответствующих вершин и сверьте с ними каждую букву.

• Считают, что равенства двух сторон уже достаточно. Две стороны не задают условие первого признака без равенства угла между ними. Проверьте, есть ли в условии третье необходимое равенство; если его нет, не делайте вывод по этому признаку.

• Утверждают, что треугольники равны, не называя элементы, на которых основано доказательство. Это происходит, когда ученик пропускает проверку условий теоремы. Запишите две пары равных сторон и отдельно укажите заключённый между ними угол, а затем назовите признак.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно знать, что такое вершины, стороны и углы треугольника, а также уметь записывать равенство отрезков и углов. Нужно различать угол между сторонами и угол, который образован другой парой лучей. Эти навыки помогают читать условие и находить соответствующие элементы. Позже признаки равенства пригодятся в доказательствах свойств геометрических фигур и задачах на равенство отрезков и углов.

Что запомнить

• Первый признак сравнивает две стороны и угол между ними.
• Сравниваемые стороны и угол должны быть соответственно равны.
• Угол должен быть заключён именно между данными сторонами.
• По первому признаку можно заключить, что треугольники равны.
• У равных треугольников равны все соответствующие стороны и углы.
• Порядок вершин в записи равенства показывает соответствие между треугольниками.