4.2. Элементы треугольника

Определения и обозначения

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Например, если M — середина стороны BC, то AM — медиана из вершины A, причём BM = MC. Такое обозначение сразу показывает, к какой стороне проведён отрезок и где находится её середина.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны. Если AD делит угол A, то ∠BAD = ∠DAC. Она нужна, чтобы выделить в треугольнике два равных угла, а не обязательно две равные части стороны.

Высота треугольника — отрезок перпендикуляра, проведённого из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Если AH — высота из A, то AH ⟂ BC или прямой BC, а H — точка пересечения. Высотой называют именно отрезок от вершины до этой прямой, даже если он расположен за пределами треугольника.

Как это устроено

Чтобы построить медиану из вершины A, сначала находят середину стороны BC. Для этого можно измерить BC и отметить точку M так, чтобы BM и MC были равны. Затем соединяют A и M: полученный отрезок и есть медиана, потому что его конец на стороне обладает главным свойством — делит её пополам.

Биссектрису начинают строить не со стороны, а с угла при выбранной вершине. Сначала проводят луч, который делит угол на две равные части, поскольку именно равенство углов определяет этот элемент. Затем находят его пересечение D с противоположной стороной и рассматривают отрезок AD внутри треугольника.

Для построения высоты через вершину проводят прямую, перпендикулярную прямой противоположной стороны. Так поступают потому, что сторона треугольника может оказаться слишком короткой для пересечения с перпендикуляром. Поэтому проверяют не только сам отрезок BC, но и всю прямую, на которой он лежит.

Все три элемента начинаются в вершине и направляются к противоположной стороне или её прямой. Однако медиана определяется серединой стороны, биссектриса — делением угла пополам, а высота — перпендикулярностью. Значит, один и тот же отрезок иногда может быть сразу двумя или даже тремя элементами, но это должно следовать из свойств конкретного треугольника.

Расположение высот зависит от вида треугольника. В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри, а в прямоугольном две из них совпадают с катетами. В тупоугольном треугольнике высота из вершины тупого угла находится внутри, а две другие пересекают продолжения сторон и проходят вне фигуры.

Три элемента треугольника

Пользуйтесь таблицей как проверочным алгоритмом: сначала найдите вершину, из которой проведён отрезок, а затем определите его главное условие. Если отмечена середина стороны, это медиана; если равны части угла, это биссектриса; если есть прямой угол, это высота. Отдельно проверьте, не вышел ли отрезок за пределы треугольника.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. Нужно назвать медиану, проведённую из вершины A. Из условия уже известно главное свойство точки M, поэтому искать дополнительные признаки не требуется.

1. Определяем противоположную вершине A сторону: это BC.
2. Используем условие BM = MC: точка M является серединой BC.
3. Соединяем вершину A с точкой M и получаем отрезок AM.

Ответ: AM — медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A.

Задача 2

В треугольнике ABC луч из вершины A делит угол A пополам и пересекает BC в точке D. Требуется определить, каким элементом является отрезок AD. Здесь прямо указано свойство угла, по которому распознают биссектрису.

1. Сравниваем углы, на которые луч AD разделил угол A.
2. Так как эти углы равны, AD является частью биссектрисы угла A.
3. Точка D лежит на противоположной стороне BC, поэтому рассматриваем отрезок от A до D.

Ответ: AD — биссектриса треугольника ABC, проведённая из вершины A.

Задача 3

В тупоугольном треугольнике ABC перпендикуляр из вершины A к прямой BC пересекает продолжение BC за точкой B. Нужно провести высоту из A. Условие специально уточняет продолжение стороны: высота не обязана заканчиваться на самом отрезке BC.

1. Продлеваем сторону BC за точку B и рассматриваем получившуюся прямую.
2. Через A проводим перпендикуляр к этой прямой до точки пересечения H.
3. Отрезок AH отмечаем как высоту, хотя он находится вне треугольника.

Ответ: высота из A — отрезок AH, причём H лежит на продолжении BC за точкой B.

Типичные ошибки

Иногда медианой называют любой отрезок из вершины к противоположной стороне. Ошибка появляется, когда ученик замечает только направление отрезка и не проверяет положение его конца. Проверьте, равны ли два отрезка, на которые конечная точка делит сторону: BM = MC.

Биссектрису путают с отрезком, который делит противоположную сторону пополам. Такое возможно из-за внешнего сходства построений, но биссектриса определяется не стороной, а углом при вершине. Для проверки сравните два угла по обе стороны от отрезка.

Высоту иногда проводят только к отрезку противоположной стороны. Так поступают, забывая, что определение относится ко всей прямой, содержащей сторону. В тупоугольном треугольнике продлите сторону и убедитесь, что с этой прямой образован угол 90°.

Ещё одна ошибка — смешивать признаки трёх элементов. Медиана определяется серединой стороны, биссектриса — равенством углов, высота — перпендикулярностью. Назовите главный признак на рисунке, и тогда похожее положение отрезков не введёт вас в заблуждение.

Связь с другими темами

Для изучения элементов треугольника нужны понятия вершины, стороны и угла, а также середины отрезка, биссектрисы угла и перпендикулярных прямых. Без них невозможно проверить, выполнено ли нужное условие построения. Поэтому при затруднении полезно сначала повторить эти определения.

Медианы, биссектрисы и высоты применяются в задачах на построение и доказательство свойств треугольников. С их помощью находят центры фигур, сравнивают углы и стороны, исследуют равнобедренные и прямоугольные треугольники. Позже эти отрезки встретятся также в задачах на площадь и подобие.

Что запомнить

• Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса треугольника делит угол при вершине пополам.
• Высота перпендикулярна прямой, содержащей противоположную сторону.
• В тупоугольном треугольнике высота может проходить вне треугольника.
• Медиана, биссектриса и высота различаются условием, по которому их проводят.