4.1. О теоремах

Определения и обозначения

Теорема — утверждение, истинность которого устанавливается доказательством. В отличие от определения, которое объясняет значение термина, теорема сообщает о свойстве фигур или их частей. Её нужно не просто запомнить, а уметь обосновать.

Условие теоремы — сведения и требования, данные до слова «следовательно» и используемые в рассуждении. Проще говоря, это исходные данные задачи: например, какие прямые пересекаются и какие углы равны. Условие нужно выделить, чтобы понимать, на какие факты можно опираться.

Заключение теоремы — утверждение, которое требуется доказать на основании условия. Это ответ на вопрос «что должно получиться?», например, что две прямые параллельны. Различать заключение и условие необходимо, чтобы не принять желаемый результат за уже известный факт.

Доказательство теоремы — последовательное рассуждение, связывающее условие с заключением с помощью определений, аксиом и ранее доказанных утверждений. Каждый шаг объясняет, почему можно перейти от известных сведений к новому выводу. Такое рассуждение позволяет проверить, что заключение действительно следует из условия.

Как это устроено

Определение вводит или поясняет смысл понятия, аксиому принимают как исходное положение, а теорему обосновывают доказательством. Обычное утверждение тоже может быть верным, но одного произнесённого «это так» недостаточно, чтобы установить его истинность. Поэтому, встречая геометрическое утверждение, нужно понять, является ли оно определением, аксиомой или теоремой, и выяснить, требуется ли его доказывать.

Чтобы разделить формулировку теоремы на части, задай два вопроса: «Что дано?» и «Что требуется доказать?». В предложении с конструкцией «если…, то…» сведения после «если» обычно образуют условие, а вывод после «то» — заключение. Такой способ помогает не перепутать известные факты с тем, к чему нужно прийти, даже если формулировка записана не в виде одного простого предложения.

Доказательство должно вести к заключению через понятные логические переходы. Фраза «это очевидно» не показывает, почему вывод верен, и не позволяет проверить, не пропущено ли важное рассуждение. Если объяснить связь каждого шага с предыдущим, читатель сможет проследить весь путь от условия до результата.

В роли оснований могут выступать определения, аксиомы и теоремы, доказанные ранее. Определение помогает точно перевести слова условия на язык свойств фигур, аксиома задаёт исходное правило, а известная теорема позволяет применить уже установленный результат. Благодаря этим опорам доказательство не строится на догадках и не зависит только от того, как выглядит конкретный пример.

Чертёж полезен: на нём легче увидеть взаимное расположение фигур и понять, какие сведения даны. Но рисунок обычно изображает только один случай и может быть выполнен неточно, поэтому внешнее сходство или впечатление от него не гарантирует свойство. Доказательство должно объяснять, почему утверждение верно при всех случаях, подходящих под условие.

Строение теоремы и доказательства

Пользуйся таблицей как планом: сначала найди условие и заключение, затем назови основания и проверь переходы между шагами. Если для какого-то шага не удаётся указать известное свойство или предыдущий вывод, рассуждение нужно дополнить. В конце проверь, что получен именно тот результат, который требовалось доказать.

Разбор задач

Задача 1. В формулировке теоремы «Если две прямые пересечены третьей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны» выделить условие и заключение. Сначала определяем, какие сведения сообщаются до результата, а затем — какое утверждение из них следует. Такая проверка особенно полезна, когда в задаче нужно применить теорему.

1. Слова после «если» сообщают, что две прямые пересечены третьей и накрест лежащие углы равны. Это условие.
2. Слова после «то» утверждают, что прямые параллельны. Это заключение.
3. Проверяем вопросами: дано равенство углов, а доказать нужно параллельность прямых.

Ответ: условие — равенство накрест лежащих углов при пересечении двух прямых третьей; заключение — параллельность этих прямых.

Задача 2. Составить план доказательства равенства вертикальных углов. Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и лежат друг напротив друга; смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями одна другой. Используем свойство: сумма смежных углов равна 180°.

1. Обозначим вертикальные углы ∠AOB и ∠COD, а один из смежных с ними углов — ∠BOC.
2. По свойству смежных углов ∠AOB + ∠BOC = 180° и ∠COD + ∠BOC = 180°.
3. Вычитаем из обоих равенств один и тот же угол ∠BOC. Получаем ∠AOB = ∠COD.

Ответ: вертикальные углы равны, потому что каждый из них в сумме с одним и тем же смежным углом даёт 180°.

Задача 3. Проверь рассуждение: «Угол 1 смежный с углом 2. Угол 1 равен 70°. Значит, угол 2 равен 70°, ведь на чертеже они выглядят одинаковыми». Нужно найти шаг, который не следует из условия, и заменить его обоснованным рассуждением. Сначала выясним, какое свойство применимо к смежным углам.

1. Первые два утверждения задают смежность углов и величину угла 1.
2. Вывод «угол 2 равен 70°» не следует из условия: чертёж не доказывает равенство. Кроме того, смежные углы в сумме составляют 180°.
3. Записываем 70° + угол 2 = 180° и находим угол 2: 180° − 70° = 110°.

Ответ: ошибочен переход к равенству углов по виду на рисунке; обоснованное значение второго угла — 110°.

Типичные ошибки

Ученик принимает заключение за условие, потому что смотрит на рисунок, а не разбирает формулировку. Из-за этого он может доказывать уже данное или считать требуемый результат известным. Проверь себя вопросами «что дано?» и «что требуется доказать?» и сверяй ответы именно с текстом теоремы.

Ссылка на то, что свойство «видно» на чертеже, не заменяет доказательство. Рисунок часто показывает лишь один пример, а его вид может зависеть от точности построения. Чтобы проверить себя, найди словесное обоснование каждого свойства или представь другой чертёж, подходящий под то же условие.

Иногда ученик использует утверждение, которое ещё не доказано, или считает верным то, что вообще неверно. Так доказательство начинает опираться на ненадёжное основание, даже если дальнейшие шаги выглядят убедительно. Проверяй, известно ли используемое правило из условия, аксиом или ранее доказанных теорем.

Пропуск промежуточных шагов приводит к фразе «следовательно» без понятной связи с предыдущим. Обычно так происходит, когда решение кажется очевидным самому ученику, но читатель не может проверить переход. Для самопроверки объясни, какое именно свойство позволяет сделать каждый вывод.

Связь с другими темами

Чтобы работать с теоремами, нужно знать определения геометрических фигур и понимать, как применять аксиомы и строить логические рассуждения. Эти знания дают основания для доказательства и помогают переводить условие задачи на точный геометрический язык. Умение выделять условие и заключение понадобится при изучении всех последующих теорем. Оно также пригодится при разборе обратных утверждений и решении задач на доказательство.

Что запомнить

• Теорема — утверждение, которое необходимо доказать.
• У каждой теоремы есть условие и заключение.
• Условие отвечает на вопрос «что дано?».
• Заключение отвечает на вопрос «что требуется доказать?».
• Доказательство состоит из связанных между собой логических шагов.
• В доказательстве используют определения, аксиомы и ранее доказанные теоремы.
• Рисунок помогает рассуждать, но не доказывает утверждение.