"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Равнобедренный треугольник узнают по двум равным сторонам. Это условие помогает находить равные углы, а по равным углам, наоборот, определять равные стороны. Особую роль играет биссектриса угла при вершине: она делит треугольник на две равные части, поэтому становится и медианой, и высотой. Эти свойства позволяют вычислять углы и стороны и доказывать геометрические утверждения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называют боковыми. Например, если AB = AC, то треугольник ABC равнобедренный, а AB и AC — его боковые стороны.
Основание равнобедренного треугольника — третья сторона, не совпадающая с боковыми сторонами. Если AB и AC — равные боковые стороны, то основание — BC. Такое название помогает точно указать, к какой стороне относятся углы и другие элементы.
Углы при основании — два угла равнобедренного треугольника, прилежащие к основанию. Если основание BC, то это углы ABC и BCA. Их называют вместе, потому что для них верна важная теорема: они равны.
Равенство боковых сторон задаёт треугольнику симметричное устройство. Если согнуть его по линии, проведённой из вершины между равными сторонами к основанию, одна половина совместится с другой. Вершины основания при этом меняются местами, а вершина между боковыми сторонами остаётся на месте. Поэтому соответствующие части фигуры совпадают.
Из этой симметрии следует теорема: углы при основании равнобедренного треугольника равны. Её можно обосновать сравнением треугольников: провести биссектрису угла при вершине и рассмотреть получившиеся половины. У них равны боковые стороны исходного треугольника, общая сторона-биссектриса и углы между ними. Значит, половины равны по двум сторонам и углу между ними, а соответствующие углы при основании равны.
Верно и обратное утверждение: если два угла треугольника равны, то стороны, лежащие напротив них, тоже равны. Это обратная теорема, связывающая углы со сторонами. Она позволяет распознать равнобедренный треугольник, даже если длины сторон не указаны: равенство двух углов означает равенство противоположных сторон.
Рассмотрим биссектрису угла при вершине равнобедренного треугольника, проведённую к основанию. Биссектриса делит угол пополам, а две образованные части имеют ещё общую сторону и равные боковые стороны. Поэтому эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства следует, что биссектриса делит основание на две равные части, то есть является медианой.
У равных треугольников равны и углы, образованные биссектрисой с основанием. Эти два угла составляют развёрнутый угол, то есть в сумме дают 180°, а поскольку они равны, каждый составляет 90°. Значит, биссектриса перпендикулярна основанию и является высотой. В задачах сначала отмечают известные равные элементы, затем выбирают теорему и используют её вывод для нахождения углов, сторон или доказательства.
| Условие | Вывод | Обоснование или применение |
|---|---|---|
| Две стороны треугольника равны | Равны углы, лежащие против равных сторон | Теорема о равных углах при основании |
| Два угла треугольника равны | Равны стороны, лежащие против этих углов | Обратная теорема |
| Биссектриса угла при вершине проведена к основанию | Она является медианой и высотой | Следует из равенства образованных треугольников |
Сначала найди в условии известные равные стороны, углы или биссектрису, а затем выбери подходящую строку таблицы. Проверяй, что вывод относится именно к противоположным сторонам или углам. Обоснование подсказывает, какую теорему нужно назвать в решении.
Задача 1. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании. Сначала используем теорему: углы при основании равны, поэтому обозначим каждый из них буквой x. Сумма трёх углов треугольника равна 180°.
Ответ: углы при основании равны 70° каждый. Деление на два оправдано тем, что эти углы равны, а не просто потому, что треугольник равнобедренный.
Задача 2. В треугольнике два угла равны 52°. Определите, равнобедренный ли он, и укажите равные стороны. Равные углы дают основание применить обратную теорему. Стороны нужно искать напротив этих углов, а не среди сторон, которые к ним прилегают.
Ответ: треугольник равнобедренный; равны стороны, лежащие напротив двух углов по 52°. Если обозначить равные углы, например, A и B, равны стороны, противоположные им, соответственно BC и AC.
Задача 3. В равнобедренном треугольнике проведена биссектриса угла при вершине. Докажите, что она является высотой и медианой. Обозначим треугольник ABC так, что AB = AC, а биссектриса AD пересекает основание BC в точке D. Сравним треугольники ABD и ACD.
Ответ: биссектриса AD одновременно является медианой и высотой к основанию BC.
Ошибочно называть основанием любую выбранную сторону равнобедренного треугольника. Обычно так происходит, когда не учитывают, что основание — третья сторона, отличная от двух равных боковых. Проверь себя: сначала найди равную пару сторон, а затем назови основанием оставшуюся.
Иногда считают равными угол при вершине и угол при основании. Но теорема утверждает равенство двух углов, прилежащих к основанию, а угол между боковыми сторонами в эту пару не входит. Чтобы проверить обозначения, отметь стороны и выясни, какие именно два угла стоят у концов основания.
В обратной теореме можно по ошибке выбрать стороны, прилежащие к равным углам. Равны не прилежащие, а противоположные этим углам стороны. Проведи мысленно линию от каждого угла к стороне напротив него: две получившиеся стороны и нужно сравнить.
Нельзя без доказательства объявлять биссектрису к основанию медианой и высотой. Такое рассуждение пропускает главное: оба свойства следуют из равенства образованных треугольников. Проверь себя, указав равные стороны, общий отрезок и равные углы, а затем объясни, почему основание делится пополам и почему образуются прямые углы.
Для изучения этих свойств нужны понятия треугольника, его сторон и углов, а также биссектрисы, медианы и высоты. Биссектриса делит угол на два равных угла, медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, а высота перпендикулярна этой стороне. Также используется сумма углов треугольника, равная 180°.
Теоремы о равнобедренном треугольнике пригодятся при изучении признаков равенства треугольников. С их помощью находят неизвестные углы и стороны и доказывают геометрические утверждения. В следующих задачах важно не только получить ответ, но и указать, каким свойством он обоснован.
Какие стороны равнобедренного треугольника называют боковыми?
Боковые стороны — это две равные стороны равнобедренного треугольника. Третья сторона называется основанием.
Почему углы при основании равнобедренного треугольника равны?
Если совместить две равные боковые стороны, треугольник совпадёт сам с собой, а вершины основания поменяются местами. Поэтому углы у основания равны; это также доказывают, сравнивая два треугольника, полученных разбиением исходного.
Как по равным углам определить равные стороны?
Нужно найти стороны, лежащие напротив равных углов. Они равны по обратной теореме о равнобедренном треугольнике.
Почему биссектриса к основанию является также медианой и высотой?
Биссектриса делит равнобедренный треугольник на два равных треугольника. Из их равенства следует, что основание разделено пополам, а образованные углы при основании биссектрисы прямые.
Можно ли у равнобедренного треугольника выбрать основанием любую сторону?
Основанием называют третью сторону, не совпадающую с равными боковыми. Если у треугольника все три стороны равны, любую пару сторон можно считать боковыми, а оставшуюся сторону — основанием.
§ 4. Первые теоремы о треугольниках
