§ 8. Первый признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Равными называют треугольники, которые можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. Тогда равны не только их размеры и форма, но и соответствующие стороны и углы. Это определение помогает понять, что при доказательстве равенства треугольников мы устанавливаем совпадение всех их элементов.

Первый признак равенства треугольников — утверждение, по которому можно доказать равенство двух треугольников по двум сторонам и углу между ними. Не требуется отдельно сравнивать третью сторону и два оставшихся угла. Поэтому признак удобен, когда известны именно эти три элемента.

Угол между двумя сторонами треугольника — это угол, образованный лучами, на которых лежат эти стороны. Например, между сторонами AB и AC находится угол BAC, потому что его вершина — точка A. Это понятие нужно, чтобы проверить, подходит ли известный угол для применения первого признака.

Соответствующие элементы — это стороны и углы, которые занимают одинаковое положение в равных треугольниках. Например, если вершины A и D соответствуют друг другу, углы при этих вершинах тоже соответствуют. Понимание соответствия помогает правильно записать равные треугольники и назвать равные элементы.

Как это устроено

Представь два треугольника и начни накладывать один на другой. Совмести одну из равных сторон: её концы должны попасть в концы соответствующей стороны второго треугольника. Затем совмести равные углы при одном конце этой стороны. Поскольку углы равны, их вторые стороны направлены одинаково, и лучи совпадают.

Теперь на совпавших лучах отложи вторую пару равных сторон, начиная от общей вершины угла. Их концы окажутся в одной точке, потому что длины этих сторон одинаковы. Так совпадут все три вершины, а значит, совпадут и треугольники целиком. Это объясняет, почему для вывода достаточно двух сторон и заключённого между ними угла.

Формулировка признака такова: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Например, равенства AB = DE, AC = DF и ∠BAC = ∠EDF достаточно для равенства треугольников ABC и DEF. Здесь угол BAC образован сторонами AB и AC, а угол EDF — сторонами DE и DF.

Слово «между» нельзя пропускать: заданный угол должен иметь сторонами именно те отрезки, равенство которых мы используем. Если известны две стороны и угол, расположенный напротив одной из них, условие первого признака не выполнено. Поэтому сначала найди вершину угла и проверь, какие стороны его образуют.

Чтобы установить соответствие вершин, сопоставь стороны по равенству и отметь их общие вершины. В примере выше AB соответствует DE, а AC — DF; общая вершина этих сторон A соответствует общей вершине D. Значит, B соответствует E, C соответствует F, и запись ABC = DEF сохраняет правильный порядок. После доказательства равенства треугольников можно заключить, что равны все соответствующие стороны и углы, а не только те, что были даны.

Первый признак равенства треугольников

В таблице собраны условия, которые проверяют перед применением признака, и выводы, которые можно сделать после доказательства. Сначала найди пары равных сторон и угол между ними. Последние строки показывают, что равенство треугольников даёт больше, чем исходные три равенства.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и DEF равны AB и DE, AC и DF, а углы BAC и EDF равны. Докажем равенство треугольников. Сначала определим, соответствуют ли друг другу заданные стороны и образуют ли они указанные углы.

1. По условию AB = DE и AC = DF. Вершина A общая для сторон AB и AC, а D — для DE и DF.
2. Угол BAC образован сторонами AB и AC, а угол EDF — сторонами DE и DF. Поэтому равны именно углы между указанными парами сторон.
3. По первому признаку треугольники ABC и DEF равны; соответствие вершин такое: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.

Ответ: треугольники ABC и DEF равны по первому признаку. Например, из этого следует, что BC = EF. Ход решения показывает, почему важно проверить не только равенство элементов, но и их расположение.

Задача 2. Точка M лежит на отрезке AC, точка N — на отрезке BD. Известно, что AM = BN, CM = DN и ∠AMC = ∠BND. Докажем равенство треугольников AMC и BND. Нужно убедиться, что угол заключён между сторонами, равенство которых дано.

1. В треугольнике AMC сторонами AM и CM образован угол AMC. В треугольнике BND сторонами BN и DN образован угол BND.
2. По условию AM = BN, CM = DN и ∠AMC = ∠BND. Значит, соответствуют вершины A ↔ B, M ↔ N, C ↔ D.
3. Применяем первый признак: треугольники AMC и BND равны.

Ответ: треугольники AMC и BND равны по первому признаку. Здесь порядок букв выбран по совпадающим вершинам углов и сторонам. Если переставить буквы произвольно, запись может показать неверное соответствие.

Задача 3. Треугольники ABC и ADC имеют общую сторону AC; AB = AD и ∠BAC = ∠CAD. Докажем, что BC = CD. Чтобы применить признак, к двум данным парам сторон нужно добавить общую сторону.

1. AC — общая сторона треугольников, поэтому AC = AC. Также по условию AB = AD.
2. Угол BAC заключён между AB и AC, а угол CAD — между CA и AD. Эти углы равны по условию.
3. По первому признаку треугольники BAC и DAC равны. При таком порядке вершин стороне BC соответствует DC.

Ответ: BC = CD как соответствующие стороны равных треугольников. Общая сторона здесь не «пропадает»: она служит второй парой равных сторон. Угол между ней и другой парой сторон тоже проверен, поэтому признак применим.

Типичные ошибки

Применять признак, когда равны две стороны и угол не между ними, — ошибка: такой набор условий не соответствует первому признаку. Её допускают, когда замечают нужные три элемента, но не проверяют их расположение. Проведи пальцем по сторонам, образующим угол: если это не те две стороны, равенство которых дано, признак применять нельзя.

Нельзя сопоставлять вершины только по порядку записи треугольников. Из-за этого часто приписывают равенство не тем сторонам и углам. Проверяй, какие стороны сходятся в вершине каждого равного угла, и только после этого записывай треугольники в соответствующем порядке.

Общая сторона двух треугольников равна самой себе. Иногда её не учитывают, потому что не видят отдельного равенства в условии; тогда пропускают один из элементов для признака. Запиши равенство, например AC = AC, и проверь, образует ли эта сторона нужный угол с другой парой сторон.

Делать вывод о равенстве треугольников по одному рисунку нельзя: чертёж может быть неточным. Ошибка возникает, когда видимую похожесть принимают за доказательство. Для проверки выпиши из условия две пары равных сторон и равенство углов между ними, а затем назови признак, который применяешь.

Связь с другими темами

Для работы с первым признаком нужно знать элементы треугольника: вершины, стороны и углы, а также понимать их обозначения. Кроме того, понадобятся свойства равенства отрезков и углов, в частности то, что отрезок равен самому себе. Эти знания позволяют выделить нужные элементы и записать условие точно.

Признак используют в доказательствах равенства отрезков и углов: сначала доказывают равенство треугольников, затем сравнивают соответствующие элементы. Позже он помогает понимать и применять следующие признаки равенства треугольников. Общий способ рассуждения остаётся тем же: найти подходящие равные элементы и установить соответствие.

Что запомнить

• Первый признак сравнивает две стороны и угол между ними.
• Угол должен быть заключён именно между выбранными сторонами.
• Нужно установить соответствие вершин до записи равных треугольников.
• Порядок букв в записи равных треугольников показывает соответствие вершин.
• У равных треугольников равны все соответствующие стороны и углы.
• Общая сторона двух треугольников равна самой себе.