§ 7. Треугольники

Определения и обозначения

Треугольник — фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой. Если точки расположены на одной прямой, отрезки не ограничат область с тремя углами. Поэтому условие о расположении вершин необходимо, чтобы получилась именно замкнутая фигура. Треугольник обозначают тремя заглавными буквами, например △ABC.

Точки A, B и C в записи △ABC — вершины треугольника, а отрезки AB, BC и CA — его стороны. Каждая сторона соединяет две вершины, поэтому у неё есть название по буквам концов. Углы находятся при вершинах: угол при B можно записать ∠ABC или ∠CBA, причём буква вершины стоит посередине. Это правило помогает точно указывать, о какой части фигуры идёт речь.

Внутренний угол треугольника образован двумя его сторонами, выходящими из одной вершины. Внешний угол смежен с внутренним: одна его сторона продолжает сторону треугольника, а другая совпадает с соседней стороной. Смежные углы в сумме дают 180°, поэтому внутренний и соответствующий внешний углы не равны друг другу. Различать их нужно, чтобы не подставить в вычисление не тот угол.

По сторонам треугольники бывают равносторонними, равнобедренными и разносторонними, а по углам — остроугольными, прямоугольными и тупоугольными. В равнобедренном треугольнике две стороны равны, а противоположные им углы, называемые углами при основании, тоже равны. У равностороннего треугольника равны все три стороны. Такая классификация позволяет кратко описывать фигуру и сразу использовать известные свойства.

Как это устроено

Чтобы построить треугольник, выбирают три точки, не лежащие на одной прямой, и соединяют каждую пару отрезком. Три точки задают три вершины, а отрезки между ними замыкают контур. Если точек меньше, нельзя получить три вершины; если они лежат на одной прямой, контур не охватывает область. Поэтому нужны именно три неколлинеарные точки и три соединяющих их отрезка.

Порядок букв в обозначении треугольника задаёт названия его сторон: у △ABC это AB, BC и CA. Для угла важна вершина, а в записи из трёх букв она находится в середине: ∠ABC имеет вершину B. Крайние буквы показывают направления сторон, образующих угол. Благодаря этому обозначения позволяют понять, какие элементы сравнивают или ищут, даже если их называют только словами.

В треугольнике равным сторонам соответствуют равные углы, лежащие напротив этих сторон. Поэтому у равнобедренного треугольника углы при основании равны: каждый из них противолежит одной из двух равных сторон. Если равны все три стороны, равны и все три угла; такой треугольник называют равносторонним. Так равенство элементов становится основанием для классификации, а не просто особенностью рисунка.

В остроугольном треугольнике каждый угол меньше 90°, в прямоугольном один угол равен 90°, а в тупоугольном один угол больше 90°. Двух прямых или тупых углов быть не может: их сумма уже была бы не меньше 180°, и для третьего угла не осталось бы места. Значит, вид по углам определяют сравнением величин углов с 90°, а не формой нарисованной фигуры. При этом классификация по углам не отменяет классификацию по сторонам.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Это можно объяснить так: через одну вершину проводят прямую, параллельную противоположной стороне; тогда два других угла треугольника равны углам, полученным у этой прямой. Вместе с углом при выбранной вершине они образуют развёрнутый угол, равный 180°. Поэтому, если известны два угла, третий находят вычитанием их суммы из 180°.

Элементы и виды треугольников

Сначала определите, по какому признаку нужно классифицировать фигуру: по сторонам или по углам. Затем сравните длины сторон или величины углов с указанными в таблице условиями. Один и тот же треугольник можно описать сразу по обоим основаниям.

Разбор задач

Задача 1. Дан треугольник ABC. Назовите его стороны, вершины и углы; запишите обозначение угла при вершине B. Сначала выпишем вершины из названия, затем составим пары для сторон и отметим, как располагается буква вершины в записи угла. Такой порядок помогает не перепутать элементы.

1. Вершины треугольника — A, B и C, потому что это буквы в его обозначении.
2. Стороны соединяют пары вершин: AB, BC и CA.
3. Угол при B обозначаем ∠ABC или ∠CBA: буква B стоит в середине.

Ответ: вершины A, B, C; стороны AB, BC, CA; углы при A, B, C; угол при B — ∠ABC или ∠CBA.

Задача 2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании и определите вид треугольника. Равные стороны лежат напротив равных углов при основании, поэтому сначала обозначим оба неизвестных угла одной буквой. Затем используем сумму углов, чтобы найти каждый из них.

1. Пусть каждый угол при основании равен x. Тогда 40° + x + x = 180°.
2. Получаем 2x = 140°, значит, x = 70°.
3. Все углы меньше 90°, следовательно, треугольник остроугольный. По сторонам он равнобедренный.

Ответ: углы при основании равны 70°; треугольник равнобедренный остроугольный.

Задача 3. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите их величины и определите вид треугольника по углам. Отношение означает, что углы состоят из 2, 3 и 4 одинаковых долей. Сначала найдём размер одной доли, используя сумму 180°, а после сравним углы с 90°.

1. Всего долей 2 + 3 + 4 = 9, значит, одна доля равна 180° : 9 = 20°.
2. Углы равны 2 · 20° = 40°, 3 · 20° = 60° и 4 · 20° = 80°.
3. Все три результата меньше 90°, поэтому треугольник остроугольный.

Ответ: 40°, 60° и 80°; треугольник остроугольный.

Типичные ошибки

Иногда треугольником называют любые три отрезка с общими концами, не проверяя, лежат ли вершины на одной прямой. Так происходит, если смотреть только на число отрезков, а не на форму получившейся фигуры. Проверьте, что точки не расположены на одной прямой и отрезки образуют замкнутую область. Если все точки лежат на одной линии, треугольника нет.

Сторону могут ошибочно назвать прямой или лучом, хотя сторона треугольника — отрезок между двумя вершинами. Путаница возникает потому, что отрезок можно мысленно продолжить в обе стороны. Чтобы проверить себя, найдите его концы: они должны совпадать с двумя вершинами треугольника. Продолжение за эти точки уже не входит в сторону.

Равнобедренным иногда считают только треугольник, у которого основание нарисовано снизу, а равные стороны идут вверх к вершине. Но основанием можно выбрать любую сторону, а равные стороны не обязаны занимать одно и то же положение на рисунке. Найдите именно пару равных сторон: третья будет основанием. Затем проверьте, что углы напротив равных сторон равны.

Вид по углам часто определяют на глаз, полагаясь на то, насколько острым кажется угол на рисунке. Рисунок может быть выполнен неточно или специально изменён, поэтому зрительное впечатление ненадёжно. Сравните известные величины с 90° или воспользуйтесь суммой углов, если неизвестен один из них. Только после этого называйте треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.

Связь с другими темами

Для изучения треугольников понадобятся понятия отрезка, луча и угла. Также нужно знать, что смежные углы в сумме дают 180°, и уметь распознавать равные углы. Эти знания помогают понимать обозначения и свойства внутренних и внешних углов.

Свойства треугольников пригодятся при изучении признаков их равенства и построений. С их помощью можно устанавливать, совпадают ли фигуры, и обосновывать геометрические утверждения. Поэтому важно не только запоминать названия, но и видеть, какие условия позволяют применить свойство.

Треугольники служат основой для изучения четырёхугольников и других многоугольников, а также подобия фигур. Их свойства используют при вычислении геометрических величин и решении задач на доказательство. Умение находить углы и распознавать виды треугольников будет полезно в этих темах.

Что запомнить

• Треугольник состоит из трёх вершин, трёх сторон и трёх внутренних углов.
• Три вершины треугольника не лежат на одной прямой.
• Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• В равностороннем треугольнике все стороны равны, а каждый угол равен 60°.
• По углам треугольники бывают остроугольными, прямоугольными и тупоугольными.
• По сторонам треугольники бывают равносторонними, равнобедренными и разносторонними.