§ 6. Ломаные и многоугольники

Определения и обозначения

Ломаная — последовательность отрезков, в которой конец каждого отрезка, кроме последнего, является началом следующего. Её получают, соединяя отрезки один за другим концами, так что линия меняет направление в точках соединения. Это определение помогает отличить ломаную от набора отдельных отрезков, расположенных рядом.

Звено ломаной — один из отрезков, составляющих ломаную. Звенья соединяются последовательно: конец одного становится началом следующего, поэтому соседние отрезки имеют общую точку. Названия звеньев позволяют описать, из каких частей состоит линия.

Вершина ломаной — конец звена, в котором оно соединяется с соседним звеном. В незамкнутой ломаной есть две крайние точки, к которым присоединено только по одному звену; остальные точки соединяют два звена. Вершины — это точки, а не сами отрезки, поэтому их важно не путать со звеньями.

Многоугольник — замкнутая простая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Отрезки этой границы называют сторонами, точки их соединения — вершинами, а соседние стороны образуют углы. Периметр — сумма длин всех сторон; он показывает общую длину границы фигуры.

Как это устроено

Чтобы получить ломаную, отрезки соединяют последовательно: второй начинается там, где заканчивается первый, третий — в конце второго и так далее. Общий конец нужен, чтобы линия шла непрерывно, без разрывов. Если два соседних отрезка не имеют общей точки-конца, они остаются отдельными отрезками и не составляют одну ломаную. При описании удобно идти по линии в одном направлении и перечислять звенья по порядку.

У ломаной сравнивают начальную и конечную точки. Если они различны, ломаная незамкнутая: на её концах остаются точки, где линия не продолжается. Если эти точки совпадают, ломаная замкнутая и образует непрерывный контур. В таком контуре у каждого звена есть два соседних звена — по одному с каждой стороны, включая соединение последнего с первым.

Замкнутости самой по себе недостаточно для многоугольника: ломаная должна быть простой. У простой ломаной звенья не пересекаются, кроме соседних, которые соприкасаются в общей вершине. Если части линии пересекаются в других точках, возникает самопересечение и контур делится на участки иначе, чем обычная граница многоугольника. Поэтому перед тем, как назвать фигуру многоугольником, проверяют и замкнутость, и отсутствие самопересечений.

Замкнутая простая ломаная отделяет ограниченную часть плоскости от остальной плоскости; вместе они образуют многоугольник. Звенья контура становятся сторонами, а точки соединения сторон — вершинами многоугольника. Угол появляется между двумя сторонами, имеющими общую вершину. Так названия элементов ломаной помогают описать границу, а добавление ограниченной части плоскости превращает эту границу в фигуру.

Периметр находят сложением длин всех сторон, потому что он измеряет всю границу многоугольника. Каждую сторону учитывают ровно один раз, двигаясь по контуру от вершины к вершине. Например, если длины сторон равны a, b и c, то периметр равен a + b + c. Когда все n сторон имеют одну длину a, одинаковые слагаемые можно заменить произведением: P = a · n.

Элементы многоугольника и ломаной

Сначала найдите на рисунке отрезки и точки их соединения, затем проверьте, замкнута ли линия и есть ли пересечения. Для вычисления периметра перечислите стороны по порядку и убедитесь, что ни одна не пропущена и ни одна не посчитана дважды.

Разбор задач

1. Проверяем ломаную и называем её элементы

Условие. На рисунке дана последовательность отрезков. Нужно определить, является ли она ломаной, и назвать звенья и вершины. Поскольку конкретные названия точек зависят от рисунка, обозначим последовательно встречающиеся точки буквами A, B, C и D.

1. Проверяем соединения: конец AB должен совпадать с началом BC, а конец BC — с началом CD.
2. Если в каждом таком соединении отрезки имеют общий конец, перед нами ломаная ABCD; иначе это не одна ломаная.
3. Перечисляем звенья в порядке следования: AB, BC и CD. Точки соединения B и C — вершины, а A и D — крайние точки незамкнутой ломаной.

Ответ. Если соседние отрезки соединены концами, они образуют ломаную ABCD со звеньями AB, BC, CD и вершинами B, C. Если хотя бы одна пара соседних отрезков не имеет общего конца, заданная последовательность не является ломаной. Такой порядок проверки не позволяет принять за ломаную случайный набор отрезков.

2. Находим периметр четырёхугольника

Условие. Стороны четырёхугольника имеют длины 3 см, 5 см, 4 см и 6 см. Требуется найти периметр. Для этого нужно учесть каждую из четырёх сторон ровно один раз.

1. Записываем длины сторон: 3 см, 5 см, 4 см и 6 см.
2. Складываем их по порядку: 3 + 5 + 4 + 6 = 18.
3. Указываем единицу длины, так как сложены сантиметры.

Ответ. Периметр четырёхугольника равен 18 см. Проверить подсчёт можно, убедившись, что в сумме присутствуют все четыре длины из условия и ни одна из них не повторена. Порядок сложения на результат не влияет.

3. Периметр правильного шестиугольника

Условие. У правильного шестиугольника сторона равна 4 см. Правильный многоугольник имеет равные стороны, а у шестиугольника их шесть. Поэтому длину одной стороны можно сложить саму с собой шесть раз или использовать умножение.

1. Записываем количество сторон: 6.
2. Умножаем длину одной стороны на число сторон: 4 · 6 = 24.
3. Добавляем единицу измерения: результат выражен в сантиметрах.

Ответ. Периметр равен 24 см. Умножение подходит, потому что все шесть сторон имеют одинаковую длину 4 см. Та же сумма при сложении выглядела бы так: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24.

Типичные ошибки

Ошибка: считать ломаной любую последовательность отрезков. Так думают, если замечают только расположение отрезков, но забывают проверить их концы. Проверьте каждую соседнюю пару: у них должна быть общая точка-конец; если где-то есть разрыв, единой ломаной нет.

Ошибка: путать вершины и звенья. Их смешивают, потому что и те и другие относятся к элементам одной линии. Вспомните: звено — отрезок, вершина — точка; можно проверить себя, указав пальцем на отрезок, а затем на место его соединения с соседним.

Ошибка: называть многоугольником любую замкнутую ломаную. Замкнутость заметна сразу, поэтому легко не проверить пересечения. Осмотрите контур: если несоседние звенья пересекаются, ломаная не простая и не образует обычный многоугольник.

Ошибка: неверно находить периметр. Иногда пропускают сторону или принимают периметр за площадь, потому что оба понятия связаны с фигурой. Периметр — это длина границы, поэтому сложите длины всех сторон по контуру и проверьте, что единица ответа — единица длины.

Связь с другими темами

Для работы с ломаной нужны знания об отрезке: его концах и длине, а также умение складывать длины. Это помогает правильно распознавать звенья и находить периметр. Понятие многоугольника пригодится при изучении углов и видов многоугольников, а умение строить и измерять ломаные — при построении фигур. Периметр встречается в задачах, где нужно определить общую длину границы.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки ломаной называют её звеньями.
• Точки соединения соседних звеньев — вершины ломаной.
• Замкнутая простая ломаная ограничивает многоугольник.
• Звенья многоугольника являются его сторонами.
• Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон.