§ 5. Измерение величин углов

Определения и обозначения

Градусная мера угла — число, показывающее, сколько единичных угловых мер содержится в данном угле. Проще говоря, это числовая характеристика величины угла. Она нужна, чтобы сравнивать углы и точно сообщать их размер.

Градус — единица измерения углов: один градус составляет одну девяностую часть прямого угла; обозначается символом °. Прямой угол делят на 90 равных частей, и каждая такая часть задаёт один градус. Это позволяет измерять углы одной общей единицей.

Угловая минута — единица измерения, равная одной шестидесятой градуса; обозначается знаком ′. Например, запись 25′ означает двадцать пять угловых минут. Минуты нужны, когда целых градусов недостаточно для точного измерения.

Транспортир — инструмент для измерения и построения углов, шкала которого позволяет отсчитывать их градусную меру. У него есть центр, нулевая отметка и деления. По ним можно узнать величину уже нарисованного угла или отметить место для построения нового.

Как это устроено

Прямой угол принимают за 90°, потому что удобно разделить его на 90 одинаковых частей и выбрать одну часть за единицу. Тогда величину любого угла можно выразить числом таких частей. Например, если угол составляет примерно половину прямого, его мера близка к 45°. Градус — не особое свойство угла, а выбранная единица для его измерения.

Чтобы измерить угол транспортиром, сначала находят его вершину — общую точку сторон. Центр инструмента помещают на эту точку, а нулевую отметку совмещают с одной стороной. Вторая сторона пересечёт шкалу, и по месту пересечения можно считать меру угла. Если центр или ноль смещён, деления будут относиться не к нужным сторонам, поэтому результат окажется неточным.

На транспортире часто нанесены две шкалы, и у них нули расположены с разных сторон. Поэтому перед отсчётом нужно определить, какая сторона угла служит исходной: именно с неё начинают измерение. Выбирают шкалу, у которой ноль стоит у этой стороны, а числа увеличиваются по направлению к другой стороне. Иначе можно прочитать дополнительный угол вместо нужного: например, принять 140° за 40°.

Градусную меру записывают числом и знаком °, например 72°. Для более точной записи используют минуты: после градусов ставят число минут и знак ′. Один градус содержит 60 минут, поэтому градусы переводят в минуты умножением на 60, а минуты — в градусы делением на 60. Например, 2° 15′ = 2 · 60′ + 15′ = 135′.

Чтобы построить угол заданной меры, проводят первую сторону и располагают транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной, а ноль — с этой стороной. На подходящей шкале находят заданное число и делают отметку. Затем проводят из вершины вторую сторону через отметку: так получается угол нужной меры. Повторное измерение помогает проверить построение, потому что выявляет смещение центра или ошибку при выборе шкалы.

Единицы измерения углов и соотношения между ними

Для перевода целых градусов в минуты умножьте число градусов на 60. Если в записи есть и градусы, и минуты, прибавьте оставшиеся минуты. Чтобы перевести минуты в градусы, разделите их число на 60; результат можно оставить дробью или записать в виде градусов и минут.

Разбор задач

Измерение угла транспортиром

Условие. Измерьте транспортиром угол, изображённый в учебнике, и запишите его градусную меру. Само изображение в условии не задано, поэтому численное значение зависит от конкретного угла. Разберём порядок действий, который позволяет получить его без ошибки.

1. Найдите вершину угла и совместите с ней центр транспортира. Проверьте положение центра: он должен лежать точно в общей точке сторон.
2. Поверните инструмент так, чтобы нулевая отметка совпала с одной стороной. Эта сторона становится началом отсчёта.
3. Найдите шкалу, начинающуюся с нуля у исходной стороны, и посмотрите, где вторую сторону пересекает шкала. Запишите это число со знаком °.

Ответ. Градусная мера равна числу градусов у пересечения второй стороны с выбранной шкалой. Если стороны короткие и не доходят до делений, их можно аккуратно продолжить линейкой: направление сторон и величина угла от этого не изменятся.

Перевод градусов в угловые минуты

Условие. Выразите 4° 25′ в угловых минутах. В этой записи есть четыре целых градуса и ещё 25 минут. Чтобы получить одну общую единицу, сначала заменим каждый градус шестьюдесятью минутами.

1. Переведите градусы: 4° = 4 · 60′ = 240′.
2. Прибавьте оставшиеся минуты: 240′ + 25′ = 265′.

Ответ. 4° 25′ = 265′. Проверить разумность ответа можно так: четыре градуса дают 240 минут, а добавка в 25 минут должна сделать итог немного больше 240.

Построение угла величиной 137°

Условие. Постройте угол величиной 137° и проверьте измерением, что он тупой. Тупой угол больше прямого, то есть больше 90°, но меньше развёрнутого, равного 180°. Поэтому сначала построим угол по шкале, а затем сравним его меру с этими границами.

1. Проведите луч — первую сторону угла — и совместите с ним нулевую отметку транспортира, поместив центр в начало луча.
2. На шкале, начинающейся от этой стороны, найдите 137° и поставьте отметку. Убедитесь, что выбрана шкала с нулём у луча, а не отсчёт 43° с противоположной стороны.
3. Проведите из вершины второй луч через отметку. Снова измерьте угол транспортиром и проверьте, что его мера близка к 137°.

Ответ. Построенный угол имеет меру 137° и является тупым, потому что 90° < 137° < 180°. Небольшое расхождение при повторном измерении возможно из-за толщины линий или неточной разметки.

Типичные ошибки

Можно считать по внешней шкале, хотя исходная сторона совпадает с нулём внутренней, или наоборот. Такую ошибку допускают, когда смотрят только на число у второй стороны и не проверяют, откуда начинается отсчёт. Перед записью результата убедитесь, что у исходной стороны стоит 0°, а числа на выбранной шкале возрастают к другой стороне.

Если центр транспортира не совпал с вершиной, стороны пересекут шкалу не в тех местах. Это происходит, когда инструмент сдвигается при повороте или его центр трудно найти на рисунке. Проверьте совпадение центра с общей точкой сторон до чтения шкалы; для контроля измерьте угол ещё раз, не меняя положения исходной стороны.

Иногда считают, что в градусе 100 минут, по аналогии со ста частями в некоторых привычных единицах. Но для углов принято соотношение 1° = 60′. Проверка проста: вспомните, что при переводе градусов в минуты нужно умножать на 60, а не на 100.

При переводе минут в градусы можно забыть, что минуты — только часть градуса, и неверно отделить целые градусы от остатка. Например, 75′ — это не 75°, а 1° 15′, поскольку 60′ составляют целый градус. Разделите число минут на 60: целая часть результата даст градусы, а остаток — минуты.

Связь с другими темами

Перед измерением нужно уметь находить вершину и стороны угла: иначе транспортир не получится правильно расположить. Также пригодится различение прямого и развёрнутого углов, поскольку их меры служат ориентирами для оценки результата. Например, 137° больше прямого угла, но меньше развёрнутого.

Измерение углов используется при изучении видов углов и их сравнения, а также при построении геометрических фигур. Умение определить градусную меру помогает проверять построения и решать задачи, в которых известны углы или требуется найти неизвестный. Поэтому точное считывание по транспортиру связано и с практической работой, и с дальнейшими рассуждениями в геометрии.

Что запомнить

• Градусная мера угла показывает его величину в выбранной единице измерения.
• Прямой угол равен 90°.
• Один градус равен 60 угловым минутам.
• Угловая минута обозначается знаком ′.
• Перед измерением нужно совместить центр транспортира с вершиной угла.
• При отсчёте по транспортиру выбирают шкалу, ноль которой расположен у исходной стороны угла.