§ 4. Полуплоскость и угол

Определения и обозначения

Полуплоскость — одна из двух частей плоскости, на которые её разделяет прямая. Представь, что прямая проведена по листу: по разные стороны от неё находятся две области. Это понятие нужно, чтобы описывать расположение точек относительно прямой.

Граница полуплоскости — прямая, разделяющая плоскость на две полуплоскости. Она одна и та же для обеих частей, поэтому служит их общей границей. Указывая полуплоскость, нужно назвать или обозначить прямую, относительно которой её рассматривают.

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Лучи расходятся от этой точки, задавая положение угла на плоскости. Понятие угла помогает описывать фигуры и отношения между их частями.

Вершина и стороны угла — общая начальная точка лучей является вершиной, а сами лучи — сторонами угла. Например, у угла, образованного лучами BA и BC, вершина — B, стороны — BA и BC. Эти названия нужны, чтобы точно описывать угол и правильно читать его обозначение.

Как это устроено

Любая прямая делит плоскость ровно на две полуплоскости, потому что у прямой есть две стороны: перейти с одной на другую, не пересекая прямую, нельзя. Точки, не лежащие на прямой, поэтому оказываются по одну или по другую её сторону. Сама прямая является общей границей: точки на ней отделяют одну область от другой, и обе полуплоскости к ней примыкают.

Чтобы узнать, в одной ли полуплоскости находятся две точки, сначала выбери прямую, относительно которой их сравнивают. Затем посмотри, лежат ли точки по одну сторону от неё или по разные стороны. В первом случае они принадлежат одной полуплоскости, во втором — разным. Точки на самой прямой не следует относить только к одной стороне: они лежат на общей границе.

Угол получается, если из одной точки провести два луча. Их общая начальная точка остаётся вершиной, а каждый луч — стороной угла; сами лучи могут быть направлены по-разному. Между сторонами выделяют внутреннюю область, но она не подменяет собой угол как фигуру с вершиной и сторонами. Поэтому на чертеже нужно различать все три элемента.

Для обозначения угла используют буквы, связанные с его сторонами и вершиной. В записи ∠ABC средняя буква B показывает вершину, а A и C указывают на лучи BA и BC. Порядок крайних букв можно поменять: ∠CBA обозначает тот же угол. Одной буквой, например ∠B, пользуются только тогда, когда при вершине B не изображено другого угла, который можно с ним перепутать.

На чертеже стороны угла изображают лучами, а вершину — их общей точкой. Внутренняя область находится между сторонами, а не совпадает с одним из лучей и не включает весь рисунок. Такое различение нужно, например, когда просят указать сторону угла: ответом будет луч, а не область между лучами. Чтобы проверить себя, назови отдельно вершину, обе стороны и внутреннюю область.

Основные понятия параграфа

Сначала найди, что задаёт понятие: разделение плоскости или пару лучей. Затем проверь обозначение: для полуплоскости должна быть ясна граница, а для угла — вершина и стороны. Последний столбец помогает быстро отличить понятия друг от друга.

Разбор задач

Задача 1. Прямая a разделяет плоскость на две полуплоскости. Точки A и B находятся по одну сторону от a, а точка C — по другую. Определите, какие точки лежат в одной полуплоскости.

1. Выбираем прямую a как границу, относительно которой сравниваем точки.
2. По условию A и B находятся по одну сторону от прямой. Значит, они принадлежат одной полуплоскости.
3. Точка C расположена по другую сторону от a, поэтому она принадлежит второй полуплоскости и не лежит в одной полуплоскости с A или B.

Ответ: A и B лежат в одной полуплоскости; C — в другой. Здесь важно сравнивать точки именно относительно прямой a, а не просто называть их положение на рисунке.

Задача 2. На рисунке изображены лучи BA и BC. Назовите угол, его вершину и стороны; запишите угол всеми допустимыми обозначениями.

1. Находим общую начальную точку лучей BA и BC. Это точка B, следовательно, она является вершиной угла.
2. Стороны угла — лучи BA и BC. Крайние буквы записи должны указывать на эти лучи, а средняя — на вершину B.
3. Записываем угол с обеих сторон: ∠ABC и ∠CBA. Если при B нет другого угла, допускается также краткая запись ∠B.

Ответ: угол ABC, вершина B, стороны BA и BC; обозначения — ∠ABC и ∠CBA, а при отсутствии неоднозначности ещё и ∠B. Средняя буква трёхбуквенной записи остаётся B.

Задача 3. Точки A и B лежат в разных полуплоскостях относительно прямой a. Объясните, почему отрезок AB пересекает прямую a.

1. Предположим, что отрезок AB не пересекает прямую a. Тогда при движении по отрезку от A к B не пришлось бы пересекать границу.
2. Но A и B находятся по разные стороны прямой. Чтобы попасть из одной полуплоскости в другую, нужно пройти через их общую границу — прямую a.
3. Значит, наше предположение неверно: на отрезке AB есть точка, принадлежащая прямой a.

Ответ: отрезок AB пересекает прямую a. Этот вывод полезен при доказательствах: принадлежность концов отрезка разным полуплоскостям гарантирует встречу отрезка с границей.

Типичные ошибки

Некоторые считают, что полуплоскость не имеет границы, потому что мысленно представляют только область по одну сторону прямой. Но именно прямая отделяет эту область от второй и является общей границей. Чтобы проверить себя, укажи прямую, которая разделяет плоскость, и отметь, что она служит границей обеих частей.

Другая ошибка — назвать полуплоскость только по одной точке, не указав прямую. Одна и та же точка может использоваться для указания разных областей, если меняется прямая-граница. Проверка простая: в описании должны быть понятны и граница, и точка, показывающая нужную сторону.

При обозначении угла иногда записывают вершину первой или последней буквой, например принимают ∠ABC за угол с вершиной A. Это происходит, если забыть правило средней буквы. Проверь запись: у угла с вершиной B буква B обязана стоять в середине, а крайние буквы указывают на стороны.

Ещё одна ошибка — называть стороной весь рисунок угла или только область между лучами. Стороны угла — именно два луча, а их общая начальная точка — вершина; внутренняя область расположена между лучами. Перед ответом назови эти части по отдельности и сверься с тем, что спрашивается в задаче.

Связь с другими темами

Для работы с полуплоскостями и углами нужно знать, что такое точка, прямая, плоскость, луч и отрезок. Эти базовые понятия позволяют читать условие и правильно называть части чертежа. Полуплоскость помогает рассуждать о пересечении прямых и отрезков: если концы отрезка лежат по разные стороны прямой, отрезок пересекает её. Углы понадобятся при изучении видов углов, треугольников и геометрических построений. Умение следить за положением точек и сторон пригодится в доказательствах.

Что запомнить

• Прямая разделяет плоскость на две полуплоскости.
• Прямая является границей обеих полуплоскостей.
• Две точки по одну сторону прямой лежат в одной полуплоскости.
• Угол образуют два луча с общей начальной точкой.
• Общая начальная точка лучей — вершина угла.
• При обозначении угла тремя буквами вершину пишут в середине.
• Точки в разных полуплоскостях соединяются отрезком, пересекающим границу.