§ 3. Измерение длин отрезков

Определения и обозначения

Длина отрезка — число, которое сопоставляют отрезку при измерении и которое показывает, сколько раз выбранная единица укладывается в нём. Например, если единица помещается на отрезке ровно пять раз, его длина равна пяти единицам. Длина помогает сравнивать отрезки и находить расстояния.

Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения. Его выбирают как меру, а затем сравнивают с ним другие отрезки. Например, единицей может быть отрезок длиной 1 см; без такой меры числовую длину определить нельзя.

Расстояние между точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Так, расстояние между A и B равно длине AB. Это определение позволяет говорить о расстоянии независимо от того, где именно на чертеже расположены точки.

Равные отрезки — отрезки, длины которых совпадают. Они могут быть направлены в разные стороны и находиться в разных местах чертежа, но измерение даст для них одно и то же число в одинаковых единицах. Поэтому равенство длин можно устанавливать, не сравнивая положение отрезков.

Как это устроено

Чтобы измерить отрезок, сначала выбирают единичный отрезок, например длиной 1 см. Затем выясняют, сколько раз эта мера укладывается вдоль измеряемого отрезка. Число укладываний и есть длина, выраженная в выбранных единицах. Если единица помещается ровно шесть раз, длина равна 6 см.

Числовой результат зависит от того, какую единицу выбрали: в более мелкую единицу тот же отрезок укладывается большее число раз. Например, длина 2 см равна 20 мм, хотя сам отрезок не изменился. При переходе к другой единице умножают или делят числовые значения на нужное число, поэтому отношение длин двух отрезков остаётся прежним. Для сравнения важно выразить обе длины в одной единице.

Единичный отрезок не всегда укладывается целое число раз. Если в нём помещаются две целые единицы и ещё половина единицы, длина равна 2,5 единицы. Дробное число нужно потому, что измеряемый отрезок может быть короче следующего полного единичного отрезка. В таком случае оставшуюся часть выражают долей единицы.

Пусть точка C находится между концами A и B. Тогда отрезок AB состоит из двух частей — AC и CB, которые не перекрываются и вместе заполняют весь отрезок. Поэтому длину AB получают сложением: AB = AC + CB. Это правило следует из того, что при соединении частей без промежутков их общая длина складывается из длин каждой части.

Если известны длины двух частей, их складывают, чтобы найти длину целого. Если известна длина целого и одной части, из длины целого вычитают известную часть: например, CB = AB − AC. Вычитание подходит только тогда, когда эта часть действительно лежит на данном отрезке и вместе с искомой образует его целиком. Все длины перед вычислением должны быть выражены в одинаковых единицах.

Измерение и сложение длин отрезков

В таблице собраны основные ситуации и действия с длинами. Сначала определите, что известно: число единичных отрезков, равенство двух отрезков или положение точки между концами. Затем выберите подходящую связь и проверьте, что единицы измерения совпадают.

Разбор задач

Задача 1. Единичный отрезок равен 1 см. На отрезке AB он укладывается ровно 6 раз. Найдите длину AB. Здесь единица измерения и число её укладываний известны, поэтому нужно выразить результат в сантиметрах.

1. Один единичный отрезок имеет длину 1 см.
2. На AB помещается 6 таких единичных отрезков, значит, длина AB равна 6 · 1 см.
3. Выполняем вычисление и записываем единицу измерения: AB = 6 см.

Ответ: 6 см.

Задача 2. Отрезок AB равен 8 см, а точка C лежит между A и B. Если AC = 3,5 см, найдите CB. Точка C делит AB на части AC и CB, поэтому их длины в сумме дают длину целого отрезка. Неизвестную часть найдём вычитанием.

1. Записываем связь для точки между концами: AB = AC + CB.
2. Выражаем неизвестную длину: CB = AB − AC.
3. Подставляем значения: CB = 8 − 3,5 = 4,5 см.

Ответ: CB = 4,5 см. Проверка: 3,5 + 4,5 = 8 см, значит, обе части дают длину AB.

Задача 3. Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Известно, что AB = 2,4 см, BC = 3,1 см, а единичный отрезок на чертеже соответствует 0,5 см. Найдите длину AC и определите, сколько единичных отрезков ей соответствует. Сначала найдём длину целого отрезка по двум частям, затем сравним её с длиной единицы.

1. Так как B лежит между A и C, AC = AB + BC.
2. Подставляем длины частей: AC = 2,4 + 3,1 = 5,5 см.
3. Чтобы узнать число единичных отрезков, делим длину AC на длину единицы: 5,5 : 0,5 = 11.

Ответ: AC = 5,5 см; этой длине соответствуют 11 единичных отрезков.

Типичные ошибки

Длина отрезка не меняется от того, как он расположен на чертеже. Ошибка возникает, когда горизонтальный или наклонный отрезок принимают за более длинный только из-за его направления. Проверьте себя измерением или сравнением длин, а не положением на листе. Поворот отрезка не меняет его длину.

Если не указать единицу или смешать сантиметры с миллиметрами, ответ окажется неясным или вычисление будет неверным. Такое часто происходит, когда числа записывают, не обращая внимания на подписи измерений. Перед вычислениями переведите все длины в одну единицу, а в ответе обязательно укажите её. Например, 2 см и 5 мм нельзя просто складывать как 2 + 5.

Когда точка лежит между концами отрезка, длины частей складывают, а не вычитают. Разность нужна для поиска одной части, если длина целого и другая часть уже известны. Ошибка появляется, если смешать эти два случая. Проверьте запись: для целого должно получиться AB = AC + CB.

Вычитать известную длину из длины целого можно, только если известная часть действительно принадлежит этому отрезку и вместе с неизвестной составляет его полностью. Иногда числа вычитают просто потому, что в условии даны две длины. Нарисуйте схему и проверьте расположение точек; затем убедитесь, что найденная часть не больше всего отрезка и что сумма частей возвращает целую длину.

Связь с другими темами

Перед изучением длин нужно знать, что такое отрезок, где находятся его концы и что означает положение точки между двумя другими точками. Измерение связано со сравнением величин и переводом единиц: эти навыки помогают правильно сопоставлять сантиметры и миллиметры. Правило сложения частей пригодится при вычислении периметров, поиске расстояний между точками и решении задач, где нужно найти недостающую часть отрезка.

Что запомнить

• Длина отрезка выражается числом в выбранных единицах.
• Единичный отрезок служит мерой для сравнения и измерения других отрезков.
• Равные отрезки имеют равные длины.
• Если точка C лежит между A и B, то AB = AC + CB.
• Неизвестную часть находят как разность длины всего отрезка и известной части.
• При смене единицы измерения числовое значение длины меняется.