§ 2. Отрезок и луч

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, состоящая из двух точек и всех точек прямой между ними. Эти две точки ограничивают отрезок, а его внутренние точки лежат между ними. Отрезок обозначают буквами его концов: например, отрезок AB. Обе буквы нужны, чтобы точно указать, между какими точками рассматривается часть прямой.

Концы отрезка — две точки, которые ограничивают его с обеих сторон. Если отрезок обозначен AB, его концами являются A и B. Обе эти точки принадлежат отрезку, а не находятся за его пределами. Поэтому при определении принадлежности точки нужно учитывать не только точки между концами, но и сами концы.

Луч — часть прямой, состоящая из одной точки и всех точек прямой, лежащих по одну сторону от неё. Эту точку называют началом луча, а сам луч продолжается от неё в выбранном направлении. Луч обозначают двумя буквами, например луч AB. По порядку букв можно понять, откуда луч начинается и куда направлен.

Начало луча — точка, от которой луч продолжается в одном направлении. В записи луча AB началом является точка A, а точка B показывает направление. Начало принадлежит лучу, то есть луч включает эту точку. Это помогает отличить луч от прямой, которая продолжается в обе стороны.

Как это устроено

Чтобы выделить на прямой отрезок, отмечают на ней две разные точки. Они становятся концами отрезка, поэтому его границы уже определены. В отрезок включают часть прямой между точками вместе с обеими граничными точками. Если бы концы не включались, часть прямой не имела бы своих крайних точек, и это противоречило бы определению отрезка.

Чтобы получить луч, сначала выбирают точку на прямой, а затем одно из двух направлений от неё. Выбранная точка становится началом и входит в луч, потому что отсчёт движения начинается именно от неё. В луч включают все точки прямой на выбранной стороне. Противоположное направление не включают: если бы луч шёл и туда, и обратно, он совпал бы со всей прямой.

Отрезок ограничен двумя концами, поэтому его можно мысленно пройти от одного конца до другого и остановиться. Луч ограничен только в месте начала: дальше он тянется в заданном направлении без конца. Разница связана с тем, сколько границ задают фигуру: две у отрезка и одна у луча. Это различие пригодится, когда нужно понять, где фигура заканчивается.

Для обозначения отрезка называют обе конечные точки, поскольку именно они задают его границы. Для луча тоже используют две буквы, но их роли неравны: первая показывает начало, вторая — направление. Например, луч AB начинается в A и проходит через B, а луч BA начинается в B и направлен через A. Поэтому порядок букв в обозначении луча нельзя менять произвольно.

Если на прямой отмечено несколько точек, сначала устанавливают их порядок. Точка принадлежит отрезку, если она совпадает с одним из концов или лежит между концами; точки за границами не входят в него. Для луча проверяют, лежит ли точка на той же прямой и находится ли она от начала в выбранном направлении. Начало луча принадлежит ему, а точка на противоположной стороне — нет.

Сравнение отрезка и луча

Сначала найдите в таблице нужный признак, а затем сравните значения в двух столбцах. Так проще не смешать число границ и направление продолжения. Для проверки обозначения луча отдельно смотрите, какая буква стоит первой.

Разбор задач

Задача 1

На прямой отмечены точки A и B. Назовите отрезок, концами которого они являются, и укажите, какие точки считаются его концами. Нужно связать обозначение с теми точками, которые задают границы фигуры. При этом важно не принять внутренние точки прямой за её концы.

1. В условии названы две точки: A и B.
2. Отрезок обозначают буквами его концов, поэтому записывают отрезок AB.
3. Проверяем, какие точки ограничивают его с двух сторон: это A и B.

Ответ: отрезок AB; его концы — точки A и B. Оба конца входят в отрезок, как и все точки между ними. Обозначения AB и BA указывают на те же два конца отрезка.

Задача 2

Точки A, B и C лежат на одной прямой в порядке A, B, C. Определите, принадлежит ли B отрезку AC и лучу AC. Сначала нужно прочитать заданный порядок: B находится после A, но до C. Затем этот порядок сравнивают с условиями принадлежности отрезку и лучу.

1. Для отрезка AC границы — A и C. Точка B лежит между ними, значит, она принадлежит отрезку.
2. У луча AC начало — A, а направление задаёт C. Точка B лежит на этой прямой от A в сторону C.
3. Следовательно, B принадлежит и отрезку AC, и лучу AC.

Ответ: точка B принадлежит отрезку AC и лучу AC. В этой задаче вывод совпал для обеих фигур, потому что B лежит между A и C. Если бы точка находилась за C, она не принадлежала бы отрезку AC, но всё ещё принадлежала бы лучу AC.

Задача 3

На прямой отмечены точки P, Q и R, причём Q расположена между P и R. Запишите луч с началом P, проходящий через Q, и определите, принадлежит ли ему точка R. Здесь нужно сначала установить начало, а уже потом определить направление по точке, через которую проходит луч. Порядок букв показывает это напрямую.

1. По условию начало луча — P, поэтому первой буквой в обозначении будет P.
2. Луч проходит через Q, значит, Q задаёт его направление. Записываем луч PQ.
3. Точка R лежит за Q в том же направлении от P, поэтому она находится на луче PQ.

Ответ: луч PQ; точка R принадлежит этому лучу. Условие не говорит, что R ограничивает луч: луч продолжается и дальше. Точка R лишь одна из точек, расположенных на его продолжении.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что концы не входят в отрезок. Так бывает, когда точки-границы принимают за отметки вне самой фигуры. По определению обе граничные точки являются частью отрезка. Проверьте себя: если точка совпадает с концом, ответ о принадлежности должен быть утвердительным.

Ошибка: считать, что луч ограничен двумя точками. Его путают с отрезком, потому что в обозначении луча тоже стоят две буквы. Но вторая буква задаёт направление, а не конец. Проверьте себя: у луча есть одна граница — начало, после которого он продолжается в одну сторону.

Ошибка: переставлять буквы в обозначении луча без учёта порядка. Это происходит, если обе буквы воспринимать только как названия точек на прямой. При перестановке меняется начало, а значит, может измениться и сам луч. Перед записью назовите вслух начало, затем точку, задающую направление.

Ошибка: полагать, что луч продолжается в обе стороны от начала. Так переносят на луч свойство прямой, которая действительно не ограничена в обоих направлениях. У луча точки находятся только на одной стороне от начала. Нарисуйте прямую и отметьте начало: включите одну сторону и проверьте, что противоположная не относится к лучу.

Связь с другими темами

Чтобы работать с отрезками и лучами, нужно знать, что такое точка и прямая, и уметь отмечать точки на прямой. Позже два луча с общим началом будут образовывать угол, поэтому знание начала и направления поможет понять его устройство. Отрезки используют, когда сравнивают и измеряют расстояния между точками. Лучи понадобятся при построении геометрических фигур и изучении их частей.

Что запомнить

• Отрезок ограничен двумя концами.
• Оба конца принадлежат отрезку.
• Луч имеет начало и продолжается в одном направлении.
• Начало луча принадлежит лучу.
• В обозначении луча сначала указывают его начало.
• Положение точки на прямой помогает определить, принадлежит ли она отрезку или лучу.