§ 1. Основные геометрические фигуры

Определения и обозначения

Точка обозначается одной заглавной латинской буквой: A, B или O. У неё нет частей и размеров, поэтому на чертеже её изображают маленькой отметкой. Точки нужны, чтобы задавать положение объектов и обозначать концы отрезков.

Прямая бесконечна в обе стороны. Её обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек, лежащих на ней: AB. Такое обозначение помогает отличить всю бесконечную линию от её части.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называют его концами. Его обозначают двумя заглавными буквами, например AB. Отрезки нужны для изображения ограниченных расстояний и сторон геометрических фигур.

Угол образован двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Например, в угле AOB вершина O, а стороны — лучи OA и OB.

Как это устроено

Точка, прямая и плоскость считаются исходными геометрическими фигурами. Их свойства не выводят из других фигур, а принимают за основу рассуждений. Из этих понятий затем описывают отрезки, лучи, углы и более сложные объекты.

Отрезок получают из прямой, выбирая на ней две точки. Эти точки становятся концами, а все точки прямой между ними вместе с самими концами образуют отрезок. Поэтому отрезок конечен, хотя лежит на бесконечной прямой.

Если на прямой отметить точку, она разделяет линию на две части. Каждая часть имеет общее с другой начало в отмеченной точке, но уходит от неё в противоположную сторону без конца. Так возникают два луча, которые называют противоположными.

Два луча образуют угол именно тогда, когда у них одно и то же начало. Общая точка становится вершиной, потому что из неё выходят обе стороны угла. При обозначении тремя буквами вершину ставят в середину, чтобы было ясно, какие два луча рассматриваются.

Геометрические фигуры задают не только буквами, но и их взаимным расположением. Если точка находится на линии, говорят, что она лежит на этой прямой, а отрезок, все точки которого принадлежат прямой, лежит на ней. Такие описания позволяют точно читать чертёж и объяснять связи между фигурами.

Основные геометрические фигуры и их элементы

Сначала найдите в таблице название фигуры, затем сравните её обозначение с записью в задаче. Столбец о границах помогает отличить прямую от отрезка и луча. Для угла отдельно проверьте вершину и два луча-стороны.

Разбор задач

Задача 1

Условие: на одной прямой отмечены точки A и B. Назовите прямую и отрезок с концами A и B.

1. Две отмеченные точки можно использовать для обозначения прямой, на которой они лежат.
2. Прямую называем двумя буквами: AB, поскольку она проходит через A и B.
3. Та же пара точек ограничивает часть прямой, поэтому отрезок обозначается AB.

Ответ: прямая AB и отрезок AB. Название совпадает по буквам, но фигуры различаются: прямая бесконечна, а отрезок имеет два конца.

Задача 2

Условие: точка O лежит на прямой. Назовите два луча, на которые она делит прямую, и укажите их общее начало.

1. Точка O становится началом обоих лучей, потому что именно она разделяет прямую.
2. Обозначим по одной точке A и B на разных сторонах от O.
3. Получаем лучи OA и OB, направленные в противоположные стороны.

Ответ: лучи OA и OB; их общее начало — точка O. Точки A и B здесь нужны для указания направления лучей.

Задача 3

Условие: даны лучи OA и OB с общим началом O. Назовите полученный угол и укажите его вершину и стороны.

1. Общее начало двух лучей определяет вершину угла.
2. Значит, вершина — O, а стороны — лучи OA и OB.
3. При записи тремя буквами ставим O в середину: ∠AOB.

Ответ: угол AOB, или ∠AOB. Его вершина O, стороны OA и OB; также этот угол можно назвать ∠BOA, потому что вершина в обеих записях остаётся посередине.

Типичные ошибки

Считать прямую ограниченной. Так происходит, когда на чертеже видна только её часть. Проверьте себя: у прямой должны быть мысленные продолжения в обе стороны, а два конца означают уже отрезок.

Называть концом луча точку в направлении продолжения. Отмеченная точка помогает задать направление, но не заканчивает луч. Проверьте, есть ли у объекта только начало и стрелка мысленного продолжения без второй границы.

Путать луч и отрезок. Оба объекта могут выглядеть как часть линии, поэтому их легко смешать. Сосчитайте границы: у отрезка два конца, у луча только одно начало.

Ставить вершину не на среднее место в обозначении угла. Буквы по краям называют точки на сторонах, а средняя буква указывает общую точку лучей. Для проверки найдите общее начало сторон и поставьте его в середину записи.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно уметь различать геометрический рисунок и буквы, которыми обозначены его элементы. Также важно уметь отмечать точки на чертеже. Без этого трудно правильно читать записи прямых, отрезков и углов.

Точка, прямая, отрезок и луч понадобятся при изучении взаимного расположения прямых и измерения отрезков. На их основе строят новые фигуры и формулируют свойства. Умение различать границы объектов помогает выбирать нужные инструменты решения.

Угол и его стороны используются при изучении видов углов, геометрических построений и свойств фигур. Позже по обозначению угла будут сравнивать и измерять углы. Поэтому правильное определение вершины и сторон нужно сохранить как основу.

Что запомнить

• Точки обозначают заглавными латинскими буквами.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Луч имеет начало и бесконечно продолжается в одном направлении.
• Угол образуют два луча с общим началом.
• Вершина угла — общее начало его сторон.