§ 1. Первый признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Равные треугольники — это треугольники, которые при наложении полностью совмещаются. Значит, совпадают не только их очертания, но и все стороны с углами. Это определение помогает понять, что равенство треугольников означает совпадение всех соответствующих элементов, даже если на рисунке этого сразу не видно.

Соответствующие стороны и углы — элементы двух треугольников, занимающие одинаковое положение при совмещении. Например, если вершины A и D совмещаются, то углы при A и D соответствуют друг другу, а стороны, выходящие из этих вершин, нужно сопоставлять по их вторым концам. Такое соответствие необходимо, чтобы не сравнить случайно сторону с другой стороной или угол не с тем углом.

Первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Угол между сторонами образован именно этими сторонами. Признак нужен, чтобы доказать равенство целых треугольников по трём данным элементам, не проверяя заранее каждую сторону и каждый угол.

Как это устроено

Представим, что в двух треугольниках есть равные стороны AB и DE. Их можно совместить: точка A попадёт на D, а B — на E, если выбрать одинаковое направление отрезков. Само по себе совпадение этой стороны ещё не гарантирует, что совпадут треугольники: третьи вершины могут находиться в разных местах. Поэтому нужны сведения о других сторонах и об угле между ними.

Пусть равны углы между выбранными сторонами, например углы BAC и EDF. После совмещения сторон AB и DE лучи AC и DF образуют с ними равные углы и потому располагаются одинаково. Если при этом AC = DF, то точки C и F оказываются на одинаковом расстоянии от A и D по совпавшим направлениям. Следовательно, третьи вершины совмещаются, и треугольники совпадают целиком.

В формулировке признака важно проверить все три условия: равны две пары сторон, а также равны углы, заключённые между этими сторонами. Если, например, названы стороны AB и AC, сравнивать нужно угол BAC, а не любой другой угол треугольника. Только при таком расположении данных применяется первый признак.

Когда равенство треугольников установлено, можно использовать совпадение всех остальных элементов. Так, если △ABC = △DEF, то соответствующие стороны и углы равны: AB = DE, BC = EF, AC = DF, а углы при A, B, C равны углам при D, E, F соответственно. Это позволяет получить нужное в задаче равенство, даже если оно не входило в исходные данные.

Порядок букв в записи задаёт соответствие вершин. В записи △ABC = △DEF вершина A соответствует D, B — E, C — F; поэтому AB соответствует DE, а угол ABC — углу DEF. Перед записью полезно сначала сопоставить известные стороны и угол, а затем расположить буквы в подходящем порядке. Иначе можно назвать равными элементы, которые на самом деле не соответствуют друг другу.

Первый признак равенства треугольников

Читайте таблицу сверху вниз: сначала проверьте равенство обеих пар сторон и угол между ними, затем укажите вывод. Сопоставляйте элементы по их положению в треугольниках, а не только по буквам. Если угол не заключён между выбранными сторонами, условие признака не выполнено.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и DEF равны AB и DE, AC и DF, угол BAC и угол EDF. Докажите, что треугольники равны.

1. Выпишем пары равных сторон: AB = DE и AC = DF. Общие вершины этих сторон — A и D.
2. Угол между AB и AC — BAC, а угол между DE и DF — EDF. По условию эти углы равны.
3. Значит, две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответствующим элементам другого. По первому признаку треугольники равны.

Ответ: △ABC = △DEF. Порядок вершин выбран так, что A соответствует D, B — E, C — F.

Задача 2. На отрезке AC отмечена точка B так, что AB = BC. По разные стороны от AC построены треугольники ABD и CBD, причём AD = CD. Докажите, что угол ABD равен углу DBC.

1. Сравним треугольники ABD и CBD. По условию AB = BC и AD = CD; сторона BD у них общая, то есть BD = BD.
2. Этих трёх равенств достаточно для признака по двум сторонам и углу? Нет: известные стороны сами по себе не дают равенства угла между ними. Здесь нужно заметить, что в этих треугольниках задана общая сторона BD, а равенство углов не дано.
3. Следовательно, из приведённых условий первый признак напрямую применить нельзя. Но можно сравнить треугольники по трём сторонам (второй признак): AB = BC, AD = CD и BD — общая сторона. Тогда △ABD = △CBD, и углы ABD и DBC равны как соответствующие.

Ответ: ∠ABD = ∠DBC. В решении использованы равенство треугольников по трём сторонам и равенство соответствующих углов.

Задача 3. Даны треугольники ABC и A′B′C′, где AB = A′B′, AC = A′C′ и ∠BAC = ∠B′A′C′. Докажите равенство медиан, проведённых из вершин A и A′.

1. Стороны AB и AC образуют угол BAC; в другом треугольнике A′B′ и A′C′ образуют угол B′A′C′. Все эти пары элементов равны по условию.
2. По первому признаку △ABC = △A′B′C′, причём A соответствует A′, B — B′, C — C′. Обозначим середины BC и B′C′ через M и M′.
3. Так как BC = B′C′ как соответствующие стороны, их половины равны: BM = B′M′. Угол ABM соответствует углу A′B′M′, поскольку M лежит на BC, а M′ — на B′C′.
4. Треугольники ABM и A′B′M′ равны по двум сторонам и углу между ними: AB = A′B′, BM = B′M′ и ∠ABM = ∠A′B′M′. Поэтому AM = A′M′; это и есть равенство медиан.

Ответ: медианы AM и A′M′ равны.

Типичные ошибки

• Берут любой угол треугольника. Ученик может увидеть равный угол, но не проверить, образован ли он выбранными сторонами. Ошибка возникает из-за того, что все углы кажутся одинаково подходящими; проверьте, что стороны, образующие угол, — именно те две стороны, равенство которых указано.
• Считают достаточными две стороны и любой равный угол. Это не условие первого признака, если угол не заключён между известными сторонами. Чтобы проверить себя, назовите обе стороны и общую им вершину: именно угол при этой вершине должен быть равен соответствующему углу.
• Неправильно записывают равные треугольники. Тогда в дальнейших выводах могут быть перепутаны соответствующие стороны и углы. Причина обычно в том, что буквы записывают по привычному порядку; сначала установите пары вершин по равным сторонам и углу, затем записывайте треугольники.
• Путают равенство треугольников с равенством площадей или отдельных элементов. Равные площади не означают, что фигуры можно совместить, а равенство нескольких элементов само по себе не доказывает совпадение. Проверьте, применён ли подходящий признак равенства, и только после этого заключайте о равенстве всех соответствующих элементов.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно знать, где находятся вершины и стороны треугольника, как обозначают углы и отрезки, а также что значит равенство отрезков и углов. Эти знания позволяют правильно выделить две стороны и угол между ними. Признак, в свою очередь, становится инструментом для доказательства равенства отрезков и углов в других задачах. Он также помогает обосновывать геометрические свойства и решать задачи на построение.

Что запомнить

• Первый признак: две стороны и угол между ними.
• Сравниваемые стороны должны быть соответственно равны.
• Равными должны быть углы, заключённые между этими сторонами.
• Равные треугольники имеют равные соответствующие стороны и углы.
• Порядок вершин в записи равенства показывает соответствие элементов.