14. Треугольник

Определения и обозначения

Треугольник — фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки. Точки называют вершинами, а отрезки — сторонами треугольника. Условие о точках нужно, чтобы стороны замкнули фигуру, а не легли на одну прямую.

В треугольнике ABC вершины — A, B и C, стороны — AB, BC и CA, углы — ∠A, ∠B и ∠C. Сторону называют по двум её концам, а угол — по его вершине. По буквам можно понять, какие элементы рассматриваются и где они расположены.

Периметр треугольника — сумма длин его сторон. Если стороны имеют длины a, b и c, то периметр записывают P = a + b + c. Чтобы найти его, складывают три длины и указывают полученную единицу измерения, например сантиметры.

Равные треугольники — это треугольники, которые при наложении совпадают. Вершины одного треугольника при этом совмещаются с соответствующими вершинами другого, а стороны и углы — с соответствующими сторонами и углами. Такое соответствие позволяет сравнивать элементы двух фигур без путаницы.

Как это устроено

Чтобы задать треугольник, нужны три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить каждую пару точек отрезком, получатся три стороны: каждая заканчивается в вершине и встречается с двумя другими. Отрезки образуют замкнутый контур, потому что ни одна из трёх точек не лежит между двумя другими на общей прямой. При точках на одной прямой замкнутой области не получится.

Треугольник называют буквами его вершин, например ABC. Порядок важен при сопоставлении фигур: если записаны ABC и DEF как соответствующие треугольники, то A соответствует D, B — E, C — F. Поэтому AB соответствует DE, BC — EF, CA — FD, а углы A, B, C соответствуют углам D, E, F. Такая запись помогает не перепутать элементы при сравнении.

По сторонам треугольники различают по тому, какие длины совпадают. У разностороннего все стороны имеют разные длины, у равнобедренного две стороны равны, а у равностороннего равны все три. Для определения вида достаточно сравнить длины сторон; величины углов для этой классификации не используют. Один треугольник можно одновременно описать и по сторонам, и по углам.

По углам треугольник бывает остроугольным, если все три угла острые, то есть меньше 90°. В прямоугольном один угол равен 90°, а в тупоугольном один угол больше 90°. У треугольника не может быть двух прямых или двух тупых углов: тогда сумма углов уже достигла бы или превысила 180°, хотя три угла треугольника вместе составляют 180°. Поэтому каждому треугольнику соответствует один из этих видов.

Периметр находят сложением длин всех трёх сторон, потому что он показывает общую длину границы фигуры. Но перед построением нужно убедиться, что стороны вообще могут образовать замкнутый контур. Каждая сторона должна быть короче суммы двух остальных: иначе два отрезка не смогут соединить концы третьего в одной вершине. Например, если наибольшая сторона не меньше суммы двух других, треугольник построить нельзя.

Виды треугольников

Сначала выберите признак, по которому нужно определить вид: сравните стороны или рассмотрите углы. Один и тот же треугольник можно назвать, например, равнобедренным по сторонам и прямоугольным по углам. Эти названия не исключают друг друга.

Разбор задач

Задача 1. Даны три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник ABC и назовите его стороны и углы. Нужно соединить все пары точек, чтобы получить замкнутую фигуру. Затем стороны назовём по их концам, а углы — по вершинам.

1. Проведём отрезок AB, соединяющий точки A и B.
2. Проведём отрезки BC и CA. Вместе три отрезка образуют треугольник ABC.
3. Запишем стороны: AB, BC, CA. Углы при вершинах обозначим ∠A, ∠B, ∠C.

Ответ: стороны треугольника ABC — AB, BC и CA; углы — ∠A, ∠B и ∠C. Каждая сторона соединяет две вершины, а каждый угол расположен при одной вершине.

Задача 2. Стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 8 см. Определите его вид по сторонам и найдите периметр. Сначала выясним, какие стороны равны, а затем сложим длины всех сторон. Такой порядок помогает не смешивать классификацию с вычислением периметра.

1. Сравним стороны: две из них равны 5 см, значит, треугольник равнобедренный.
2. Найдём периметр: P = 5 + 5 + 8 = 18 см.
3. Проверим возможность существования: 5 + 5 больше 8, а сумма 5 и 8 больше оставшейся стороны 5.

Ответ: треугольник равнобедренный, его периметр равен 18 см. Проверка показывает, что заданные длины могут образовать треугольник.

Задача 3. Можно ли построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 8 см? Не достаточно того, что все длины положительны: нужно проверить, смогут ли отрезки замкнуться. Для этого сравним сумму двух меньших сторон с наибольшей.

1. Наибольшая сторона равна 8 см, две другие — 3 см и 4 см.
2. Сложим меньшие стороны: 3 + 4 = 7 см.
3. Сравним: 7 см меньше 8 см, поэтому сумма двух сторон не превосходит третью.

Ответ: построить такой треугольник нельзя. Отрезки длиной 3 см и 4 см вместе не достигают длины 8 см, чтобы замкнуть фигуру.

Типичные ошибки

Можно принять за треугольник три точки на одной прямой. Так происходит, если смотреть только на число точек и не проверять, что образуют соединяющие их отрезки. При соединении таких точек замкнутого контура не получится. Проверьте, что точки не лежат на одной прямой и фигура действительно замкнута.

Иногда букву A считают обозначением стороны, а AB — угла. Путаница возникает из-за того, что одни и те же буквы используются при записи разных элементов. Сторона задаётся двумя концами, а угол — одной вершиной. Проверьте запись: у стороны две буквы, у угла при кратком обозначении одна.

Нельзя определять вид треугольника только по одному признаку: например, назвать его «равнобедренным» и решить, что углы уже не нужно рассматривать. Причина ошибки — смешение двух независимых классификаций. Стороны определяют один признак, углы — другой. Чтобы проверить себя, отдельно ответьте на вопрос о равных сторонах и отдельно — о величинах углов.

Ошибочно считать, что любые три положительные длины задают треугольник. Даже если длины можно записать, короткие стороны могут не соединить концы самой длинной. Проверьте неравенство для каждой пары сторон: её сумма должна быть больше третьей. Достаточно заметить, что сумма двух меньших сторон не больше наибольшей, чтобы сразу отвергнуть построение.

Связь с другими темами

Для изучения треугольников нужны понятия точки, прямой, отрезка и угла. Также нужно уметь измерять длины отрезков: без этого нельзя вычислить периметр или сравнить стороны. Эти знания позволяют описывать фигуру и проверять, возможно ли её построить.

Понятие треугольника становится основой для изучения равенства треугольников и соответствия их элементов. Оно применяется при геометрических построениях, а вычисление периметра связано с измерением границы фигуры. Умение распознавать вершины, стороны и углы помогает читать чертежи и решать дальнейшие задачи.

Что запомнить

• Треугольник образован тремя не лежащими на одной прямой точками и тремя отрезками.
• У треугольника три вершины, три стороны и три угла.
• Треугольник ABC обозначают по его вершинам.
• Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны.
• Равносторонний треугольник имеет три равные стороны.
• В прямоугольном треугольнике один угол прямой.
• Сумма любых двух сторон треугольника больше третьей.