§ 4. Второй признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Второй признак равенства треугольников гласит: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то треугольники равны. Признак позволяет доказать совпадение фигур, не сравнивая все три стороны. Он пригодится, когда в задаче известны одна сторона и углы при её концах.

Прилежащие к стороне углы — два угла треугольника, для которых эта сторона является одной из сторон. Иными словами, это углы при двух концах выбранной стороны. Такое уточнение нужно, чтобы отличить углы при одной стороне от других углов того же треугольника.

Соответственные элементы — вершины, стороны и углы двух треугольников, сопоставленные друг другу при сравнении. Например, если стороне AB соответствует DE, то вершины A и B сопоставляются с концами D и E в соответствующем порядке. Это понятие помогает не перепутать, какие именно элементы должны быть равны.

Равные треугольники — треугольники, которые можно совместить наложением; их соответственные стороны и углы равны. Поэтому после доказательства равенства треугольников можно заключать, что выбранные соответствующие отрезки или углы равны. Такое следствие часто и требуется получить в геометрической задаче.

Как это устроено

Для применения признака сначала выбери в каждом треугольнике одну сторону, а затем отметь два угла при её концах. Углы должны относиться к одной и той же стороне, потому что признак описывает именно взаимное положение этих трёх элементов. Если взять один угол при выбранной стороне, а второй — при другой, нужного условия уже нет.

Равенство двух углов задаёт форму треугольника: они указывают направления двух сторон, выходящих из концов выбранной стороны. Но одних направлений недостаточно, чтобы получить треугольник определённого размера: можно построить фигуры той же формы, но крупнее или мельче. Поэтому требуется ещё равенство стороны, которая лежит между этими углами.

Представь, что равные стороны двух треугольников наложили друг на друга. Их концы совпадут, а равные углы при этих концах направят остальные стороны по совпадающим лучам. Точки пересечения этих лучей окажутся в одном месте, поэтому совпадут и третьи вершины. Так объясняется, почему заданных элементов достаточно для наложения треугольников.

Запись равенств нужно читать с учётом соответствия вершин. Например, если AB = DE, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E, то сопоставляются A с D, B с E, а оставшиеся вершины C и F — друг с другом. Названия треугольников следует записывать в согласованном порядке: △ABC и △DEF. Тогда становится ясно, какие стороны и углы признаются соответственными.

В доказательстве сначала перечисли равные элементы и проверь их расположение. Затем назови второй признак и укажи, какие треугольники равны; только после этого используй равенство их соответственных элементов. Такой порядок показывает, что вывод опирается на все условия признака, а не на внешнее сходство фигур. Если какое-то равенство углов получается из вертикальных углов, это нужно отдельно обосновать.

Условия и вывод второго признака равенства треугольников

Пользуйся таблицей как проверочным списком перед выводом: сопоставь сторону, углы при её концах и соответствующие элементы второго треугольника. Если углы относятся к разным сторонам, условие признака не выполнено. После проверки можно записать вывод о равенстве треугольников.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и DEF известно, что AB = DE, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E. Докажем, что треугольники равны. Сначала проверим не только сами равенства, но и расположение элементов. Это не даёт перепутать углы при разных сторонах.

1. Сторона AB соответствует стороне DE.
2. Углы A и B прилежат к AB, а углы D и E прилежат к DE.
3. По условию эти стороны и соответствующие углы попарно равны.
4. По второму признаку △ABC = △DEF; соответствие вершин: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.

Ответ: △ABC = △DEF. Условия признака выполнены, потому что равны стороны AB и DE, а также оба угла при этих сторонах. Поэтому совпадают не только заданные элементы, но и третьи вершины треугольников.

Задача 2

Отрезки AB и CD пересекаются в O. Дано AO = CO и ∠BAO = ∠DCO; кроме того, ∠AOB и ∠COD — вертикальные углы. Докажем равенство △AOB и △COD. Здесь сначала нужно найти вторую пару равных углов, а затем проверить, что равная сторона находится между ними.

1. Углы AOB и COD равны как вертикальные.
2. По условию ∠BAO = ∠DCO, то есть углы при вершинах A и C тоже равны.
3. Стороны AO и CO равны по условию; каждая заключена между указанными двумя углами своего треугольника.
4. По второму признаку △AOB = △COD, при соответствии A ↔ C, O ↔ O, B ↔ D.

Ответ: △AOB = △COD. Равенство вертикальных углов даёт недостающую пару углов, а AO = CO — равенство стороны между углами. Следовательно, выполнены все условия второго признака.

Задача 3

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC точка M — середина AC. Требуется доказать равенство △ABM и △CBM. По определению равнобедренного треугольника AB = CB, а из условия о середине следует AM = CM. Нужно также учесть, что BM — общая сторона.

1. AB = CB, поскольку ABC — равнобедренный с основанием AC.
2. AM = CM, поскольку M — середина AC.
3. BM = BM — общая сторона двух треугольников.
4. По признаку равенства треугольников по трём сторонам △ABM = △CBM.

Ответ: △ABM = △CBM. Важно: углы AMB и CMB не вертикальные, а смежные, поэтому равными их считать нельзя. Этих данных недостаточно, чтобы сразу сослаться на второй признак; здесь корректно применить признак по трём сторонам.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сравнивать сторону с двумя углами, не проверив, что оба прилежат именно к ней. Так поступают, когда замечают нужное количество равных элементов, но не смотрят на их расположение. Проверь, что выбранные углы стоят при обоих концах выбранной стороны в каждом треугольнике.

Вторая ошибка — брать равные углы, прилежащие к разным сторонам. Они могут быть равны, но это ещё не выполняет условие второго признака. Чтобы проверить себя, назови выбранную сторону и отдельно укажи оба её конца: выбранные углы должны находиться при этих концах.

Третья ошибка — неверно сопоставлять вершины или записывать равенства в разном порядке. Из-за этого, например, можно объявить равными углы, которые не соответствуют друг другу. Сначала сопоставь концы равных сторон, затем проверь углы и запиши названия треугольников в согласованном порядке.

Четвёртая ошибка — считать достаточными равенство стороны и любых двух углов. Это неверно, потому что у треугольника есть несколько углов, а признак требует конкретного расположения элементов. Перед выводом перечисли все три равенства и проверь, что два равных угла прилежат к равным сторонам.

Связь с другими темами

Для работы со вторым признаком нужно знать, что такое угол и сторона треугольника, а также уметь распознавать вертикальные и смежные углы. Признак опирается на понятие равных треугольников и позволяет затем доказывать равенство их соответственных сторон и углов. Эти выводы встречаются в задачах о равнобедренном треугольнике, построениях и геометрических доказательствах.

Что запомнить

• Сравнивают сторону и два угла при этой стороне.
• Равные элементы должны быть соответственными.
• Два угла определяют форму треугольника.
• Равная заключённая между углами сторона фиксирует размер.
• После проверки условий можно заключить, что треугольники равны.
• В доказательстве явно указывают, какой признак применён.