"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Параллельный перенос сдвигает каждую точку пространства на один и тот же вектор, поэтому фигура перемещается целиком, не меняя форму и размеры. Чтобы задать перенос, достаточно указать направление и длину сдвига. Это преобразование сохраняет расстояния и углы, а значит, помогает обосновывать равенство фигур и выполнять геометрические построения. Разберём, как находить образы точек и проверять, является ли преобразование переносом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельный перенос — преобразование пространства, при котором каждой точке A сопоставляется точка A′ так, что вектор AA′ один и тот же для всех точек. Иначе говоря, любая точка перемещается одинаково, независимо от своего положения. Это определение позволяет отличить перенос от поворота или другого преобразования, при котором перемещения точек могут различаться. Обозначение A′ указывает на образ точки A.
Вектор переноса — общий вектор, задающий направление и длину перемещения каждой точки. Если он равен нулю, каждая точка остаётся на месте, поэтому преобразование является тождественным. Задать вектор можно координатами или указать его начало и конец. Понятие нужно, чтобы описать перенос одним объектом, а не задавать перемещение отдельно для каждой точки.
Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при параллельном переносе; исходную точку называют прообразом. Например, если A переходит в A′, то A′ — образ, а A — прообраз. Эти слова помогают точно описывать соответствие точек и фигур до и после преобразования. Образ фигуры состоит из образов всех её точек.
Движение — преобразование, сохраняющее расстояния между любыми парами точек. Параллельный перенос относится к движениям, потому что одинаковый сдвиг не изменяет расстояния между точками. Это свойство позволяет переносить отрезки, углы и целые фигуры без изменения их размеров. Поэтому перенос используют, когда требуется обосновать равенство фигур.
Для задания переноса достаточно выбрать один вектор, потому что этот вектор определяет, куда и насколько переместится любая точка. Если известен вектор v, то для каждой точки A её образ A′ находится из равенства AA′ = v. Нет необходимости отдельно задавать положение образов остальных точек: они определяются тем же правилом. Именно единый вектор отличает параллельный перенос от произвольного перемещения точек.
Чтобы построить образ точки, отложи от неё вектор, равный и сонаправленный вектору переноса. Начало построенного вектора совмещают с исходной точкой, а его конец обозначают как образ. Равенство векторов означает одинаковые длину и направление, поэтому выбор другого отрезка с теми же характеристиками даст тот же результат. Если перенос задан координатами (a; b), к первой координате точки прибавляют a, а ко второй — b.
Перенос сохраняет расстояния, потому что оба конца любого отрезка сдвигаются одним и тем же вектором. В координатах прибавление одинаковых чисел к координатам концов не меняет разности соответствующих координат, от которых зависит расстояние. Следовательно, длина отрезка и расстояние между любыми двумя точками сохраняются. Углы также не меняются: направления сторон угла остаются прежними, поскольку обе стороны перемещаются параллельно самим себе.
Прямая при переносе переходит в параллельную ей прямую или в себя, потому что все её точки сдвигаются на один вектор. Направление прямой при этом сохраняется, а её положение может измениться. Если вектор переноса параллелен прямой, точки перемещаются вдоль неё и образ совпадает с исходной прямой. По той же причине плоскость переходит в параллельную плоскость либо совпадает с собой, если вектор параллелен этой плоскости.
При переносе на ненулевой вектор неподвижных точек нет: каждая точка смещается на вектор ненулевой длины и потому не может совпасть со своим образом. Чтобы вернуть фигуру в исходное положение, нужно переместить её на ту же длину в противоположном направлении. Поэтому обратное преобразование задаётся вектором, противоположным исходному. Если же вектор нулевой, перенос ничего не меняет и все точки остаются неподвижными.
| Объект или свойство | Что происходит при переносе |
|---|---|
| Точка | Переходит в точку, смещённую на вектор переноса. |
| Отрезок и его длина | Переходит в равный ему отрезок той же длины. |
| Прямая | Переходит в параллельную прямую или в себя. |
| Плоскость | Переходит в параллельную плоскость или в себя. |
| Углы и расстояния | Их величины сохраняются. |
Сначала найди строку, соответствующую объекту или свойству из задачи, затем используй указанное изменение. Например, при сравнении фигуры с её образом достаточно опереться на сохранение длин и углов. Для прямой и плоскости учитывай оба варианта: образ может быть параллельным или совпадать с исходным объектом.
В координатной плоскости точка A(−2; 3) переносится на вектор (4; −1). Найдите координаты её образа. Вектор задаёт смещение по двум координатным направлениям: на 4 по первой координате и на −1 по второй. Поэтому применим один и тот же координатный закон переноса.
Ответ: A′(2; 2). Проверка проста: от A до A′ нужно пройти на 4 вправо и на 1 вниз, то есть именно на вектор (4; −1).
Постройте образ треугольника ABC при переносе на заданный вектор и обоснуйте равенство исходного и полученного треугольников. Поскольку перенос действует на все точки одинаково, достаточно построить образы трёх вершин. Полученные точки обозначим A′, B′ и C′, а затем соединим их отрезками.
Ответ: образ — треугольник A′B′C′; он равен ABC, поскольку перенос сохраняет длины сторон. Один вектор для всех трёх вершин обязателен, иначе полученная фигура не была бы образом при одном параллельном переносе.
Параллельный перенос переводит точку A в A′, а точку B в B′. Определите, может ли он перевести C в C′, если заданные точки не совпадают, и обоснуйте ответ. Само условие о несовпадении точек ещё не решает вопрос: важно, каким вектором переводится каждая точка. Один перенос требует одинакового вектора перемещения для всех соответствий.
Ответ: без координат или расположения точек однозначно сказать «да» или «нет» нельзя. Возможность определяется равенством векторов перемещения, а не только тем, совпадают ли точки.
Задавать перенос только длиной перемещения недостаточно: без направления неясно, куда должна перейти точка. Так ошибаются, принимая вектор за обычную длину отрезка. Проверь, можно ли по указанным данным однозначно построить образ: если можно двигаться в разные стороны, перенос задан не полностью. Укажи и длину, и направление вектора.
Переносить разные точки на разные векторы — значит менять каждую точку по собственному правилу, а не выполнять один параллельный перенос. Такое происходит, если строят образ каждой вершины отдельно и не сверяются с общим вектором. Проверка состоит в сравнении векторов от каждой исходной точки к её образу. Все они должны быть равны и сонаправлены.
Не всякая прямая обязательно переходит в отличную от неё прямую: прямая, параллельная вектору переноса, может перейти сама в себя. Иногда это упускают, считая, что любой ненулевой перенос меняет положение каждого объекта. Проверь направление прямой относительно вектора. Если они параллельны, образ прямой совпадает с ней.
Вектор переноса нельзя путать с отрезком без направления: равная длина сама по себе не определяет перемещение. Ошибка часто появляется, когда учитывают только расстояние между точкой и её образом. Для проверки сравни не только длины отрезков, но и их направления. Вектор от исходной точки к образу должен совпадать с заданным вектором переноса.
Для изучения переноса нужны понятия вектора, равных и противоположных векторов, а также параллельных прямых и плоскостей. Без них нельзя точно задать общий сдвиг и определить, куда перейдут геометрические объекты. Параллельный перенос относится к движениям, то есть преобразованиям, сохраняющим расстояния. Его свойства используют при доказательстве равенства фигур и в задачах на построение: можно переместить фигуру, сохранив её форму и размеры.
Можно ли задать параллельный перенос, указав только направление?
Нет. Нужно указать также длину перемещения: один и тот же вектор включает и направление, и модуль. Если задать только направление, возможны разные переносы.
Как найти образ точки, если известен вектор переноса?
От точки нужно отложить вектор, равный вектору переноса и сонаправленный с ним. Его конец и будет образом исходной точки. В координатах к координатам точки прибавляют соответствующие координаты вектора.
Почему параллельный перенос сохраняет длины отрезков?
Оба конца отрезка сдвигаются на один и тот же вектор. Разность координат концов при таком сдвиге не меняется, поэтому расстояние между ними остаётся прежним.
Может ли прямая при переносе перейти сама в себя?
Да, если прямая параллельна вектору переноса или совпадает с его направлением. Тогда перенос перемещает точки вдоль этой же прямой, и её образ совпадает с исходной.
Как задать перенос, обратный данному?
Нужно взять вектор, противоположный вектору исходного переноса. Он имеет ту же длину, но направлен в обратную сторону, поэтому возвращает каждую точку в исходное положение.
39.1. Параллельный перенос
