39.2. Центральная симметрия

Определения и обозначения

Центральная симметрия относительно точки O — преобразование, которое каждой точке X ставит в соответствие точку X′ так, что O является серединой отрезка XX′. Иными словами, точка и её образ лежат на одной прямой по разные стороны от центра и на одинаковом расстоянии от него. Это правило задаёт образ любой точки плоскости.

Точки X и X′ называют симметричными относительно O, если O — середина отрезка XX′. В векторной записи это означает, что векторы OX и OX′ противоположны: OX′ = −OX. Такое описание удобно для вычислений и проверки симметрии по координатам.

Точку O называют центром симметрии, когда относительно неё рассматривают преобразование: она делит пополам отрезок, соединяющий любую точку с её образом. Если исходная точка совпадает с O, её образом будет она сама. Не следует путать центр преобразования с центром симметрии фигуры: последний должен переводить в себя всю фигуру.

Фигура называется центрально-симметричной, если при центральной симметрии относительно некоторой точки она переходит сама в себя. Значит, вместе с каждой точкой фигуры в ней должна находиться и симметричная ей точка. Это определение позволяет выяснить, есть ли у фигуры центр симметрии.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки X относительно O, проведи прямую XO и продолжи её за центр. На продолжении отметь точку X′ так, чтобы OX′ = OX. Центр должен оказаться именно между точками X и X′, иначе условие о середине не выполнится. Если X совпадает с O, строить новую точку не нужно: O остаётся на месте.

Центральная симметрия равносильна повороту на 180° вокруг центра. При таком повороте каждая точка описывает полуокружность с центром O и возвращается на ту же прямую с противоположной стороны; поворот не меняет расстояние до центра. Поворот сохраняет расстояния между любыми точками и величины углов, поэтому образы отрезков и углов имеют те же длины и величины, что исходные.

Если прямая проходит через центр, при симметрии её точки переходят в точки той же прямой: образ каждой точки лежит на линии, соединяющей её с O. Если прямая не проходит через центр, выберем на ней две точки. Их образы расположатся на параллельной прямой, потому что оба перемещения происходят по направлению к центру и обратно, а расстояния и направление между парой точек сохраняются.

Чтобы найти образ фигуры, достаточно построить образы её характерных точек, например вершин многоугольника, а затем соединить их в исходном порядке. Это сработает, поскольку преобразование сохраняет расстояния и углы: стороны и форма образа не исказятся. Проверяя, есть ли у фигуры центр симметрии, возьми предполагаемую точку O и проверь для каждой точки фигуры, принадлежит ли фигуре её симметричный образ. Если хотя бы один образ не входит в фигуру, выбранная точка не является её центром симметрии.

Свойства центральной симметрии

Пользуйся таблицей как кратким планом: сначала определи, какой объект преобразуется, затем найди его образ. Последний столбец помогает проверить построение: длина, угол или направление не должны измениться. Для фигуры проверяй не только отдельные точки, но и то, переходит ли вся фигура в себя.

Разбор задач

Построить точку, симметричную данной точке A относительно точки O

Нужно построить точку B так, чтобы O была серединой AB. Поэтому B должна лежать на прямой AO, но по другую сторону от O, а расстояние OB должно равняться OA. Проверка середины сразу подтверждает, что построение выполнено правильно.

1. Проведи прямую через A и O.
2. Продолжи её за O в сторону, противоположную A.
3. Отложи на продолжении отрезок OB, равный OA.
4. Проверь, что O находится между A и B и OA = OB.

Ответ: точка B, построенная за O на расстоянии OA от центра, симметрична точке A относительно O.

Найти координаты точки, симметричной A(−2; 5) относительно O(1; 1)

Центр симметрии должен быть серединой отрезка между исходной точкой и образом. Поэтому координаты центра равны полусуммам соответствующих координат концов. Если обозначить образ через A′(x′; y′), получаем x′ = 2 · 1 − (−2) и y′ = 2 · 1 − 5.

1. Для первой координаты: x′ = 2 · 1 − (−2) = 4.
2. Для второй координаты: y′ = 2 · 1 − 5 = −3.
3. Проверь середину: ((−2 + 4)/2; (5 + (−3))/2) = (1; 1), то есть O.

Ответ: A′(4; −3).

Доказать, что четырёхугольник ABCD с диагоналями, пересекающимися в точке O и делящимися этой точкой пополам, центрально-симметричен относительно O

Условие означает, что O — середина обеих диагоналей: AC и BD. Следовательно, при симметрии относительно O вершина A переходит в C, а B — в D; обратное преобразование возвращает пары на место. Остаётся показать, что вместе с вершинами переходит сама фигура.

1. Из того, что O — середина AC, следует: A и C симметричны относительно O.
2. Из того, что O — середина BD, следует: B и D симметричны относительно O.
3. Центральная симметрия переводит отрезки в отрезки, поэтому стороны четырёхугольника переходят в соответствующие стороны: AB — в CD, BC — в DA.
4. Значит, вершины и стороны ABCD переходят в вершины и стороны того же четырёхугольника.

Ответ: ABCD центрально-симметричен относительно O.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что образ лежит с той же стороны от центра, что и исходная точка. Так допускают, потому что запоминают равенство расстояний, но забывают условие о середине. Проверь расположение точек: O должен находиться между X и X′.

Ошибка: отложить от исходной точки расстояние до центра, не продолжив прямую за центр. Тогда образ может оказаться не там, где требуется. Чтобы проверить себя, убедись, что точка и образ находятся на одной прямой, а отрезки от центра до них направлены в противоположные стороны и равны.

Ошибка: назвать центр симметрии фигуры любой точкой, относительно которой можно построить образ отдельной точки. Построить образ можно относительно любой точки, но центр фигуры должен переводить в себя всю фигуру. Проверь, что образ каждой её точки тоже принадлежит фигуре.

Ошибка: считать, что любая прямая переходит в себя. Это верно только для прямой, проходящей через центр; прямая вне центра переходит в параллельную. Для проверки выясни, принадлежит ли центр исходной прямой: если нет, ищи образ параллельно ей, а не на той же прямой.

Связь с другими темами

Для построения симметричных точек нужно уметь находить середину отрезка, а для координатных задач — работать с координатами точек. Свойство о прямых связывает преобразование с параллельностью. Центральная симметрия равносильна повороту на 180°, поэтому её свойства можно объяснять и с помощью поворотов. Она помогает исследовать параллелограмм: его диагонали делятся точкой пересечения пополам, и эта точка является центром симметрии.

Что запомнить

• Центр симметрии — середина отрезка, соединяющего точку и её образ.
• Образ точки и сама точка лежат на одной прямой с центром.
• Центральная симметрия сохраняет расстояния и углы.
• Прямая через центр переходит в себя.
• Прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную ей прямую.
• Фигура центрально-симметрична, если преобразование переводит её в себя.