39.3. Отражение в плоскости (зеркальная симметрия)

Определения и обозначения

Отражение в плоскости — преобразование пространства, при котором плоскость отражения перпендикулярна отрезку, соединяющему точку с её образом, и делит этот отрезок пополам. Иными словами, плоскость играет роль зеркала в пространстве. Это определение задаёт точное правило, по которому можно найти образ любой точки.

Плоскость отражения — плоскость, относительно которой выполняется отражение; каждая её точка остаётся на месте. Её можно обозначать, например, греческой буквой α. Такая плоскость задаёт направление и положение симметрии.

Образ точки — точка, симметричная исходной относительно плоскости: плоскость пересекает отрезок между ними под прямым углом и делит его пополам. Если точка обозначена A, её образ обычно записывают A′. Это обозначение помогает отличать исходную точку от полученной после преобразования.

Плоскость симметрии фигуры — плоскость, отражение относительно которой переводит фигуру в себя. Образы всех точек фигуры при этом тоже принадлежат фигуре. Это понятие позволяет описывать зеркальную симметрию пространственных тел.

Как это устроено

Чтобы определить положение образа точки, сначала опускают перпендикуляр из исходной точки на плоскость отражения. Затем образ располагают на продолжении этого перпендикуляра по другую сторону плоскости и на таком же расстоянии от неё. Равенство расстояний следует из того, что плоскость делит отрезок между точкой и образом пополам. Поэтому никакое другое направление или расстояние не даст образа, соответствующего определению.

Все точки плоскости отражения неподвижны: для такой точки расстояние до плоскости равно нулю, и при отражении она совпадает со своим образом. Если точка находится вне плоскости, она и её образ оказываются в разных полупространствах. Соединяющий их отрезок обязан быть перпендикулярен плоскости, иначе плоскость не делила бы его пополам по правилу отражения. Так плоскость разделяет пространство на две стороны, которые соответствуют друг другу.

Отражение сохраняет расстояния между точками. Это можно увидеть, рассматривая точки и их образы: отражённые отрезки имеют ту же длину, поскольку их положение меняется зеркально, а расстояния от соответствующих точек до плоскости равны. Сохранение длин означает, что соответствующие стороны фигур равны; величины углов также сохраняются, поскольку не меняются отношения между образующими их отрезками. Поэтому образ фигуры равен исходной, хотя находится по другую сторону плоскости и может выглядеть иначе при выбранном ракурсе.

При повторном отражении относительно той же плоскости точка возвращается на прежнее место. Первый переход переносит её на другую сторону, а второй проходит тот же путь обратно, потому что перпендикуляр и расстояние до плоскости не меняются. Значит, возвращается и вся фигура, составленная из этих точек. Это свойство удобно использовать, чтобы проверить построение или рассуждение об отражении.

Фигура обладает симметрией относительно плоскости ровно тогда, когда отражение не выводит её точки за пределы фигуры. Если образ каждой её точки снова принадлежит этой фигуре, то после отражения фигура совпадает с собой. Проверять нужно всю фигуру, а не только отдельную вершину или точку, случайно лежащую на плоскости. Например, у многогранника вершины, не лежащие в плоскости, должны переходить в другие вершины того же многогранника.

Как отражение действует на точки и фигуры

Таблица помогает быстро проверить построение: сопоставь положение точки, её расстояние до плоскости и направление отрезка к образу. Для фигуры дополнительно проверь, сохраняются ли длины и углы. При повторном отражении исходные точки должны вернуться на свои места.

Разбор задач

Задача 1. Точка A находится на расстоянии 3 см от плоскости α. Постройте её образ A′ и укажите расстояние от A′ до α. Из условия известно расстояние, но не задано направление перпендикуляра в пространстве. Построение поэтому начинают с положения точки A относительно плоскости.

1. Из A проведите перпендикуляр к α и обозначьте основание перпендикуляра H.
2. На продолжении AH за плоскостью отложите отрезок HA′ = 3 см. Точка H должна быть серединой AA′, а весь отрезок AA′ — перпендикулярным α.
3. Проверьте, что A и A′ лежат по разные стороны плоскости и удалены от неё на одинаковое расстояние.

Ответ: образ A′ находится на расстоянии 3 см от α по другую сторону плоскости.

Задача 2. Постройте образ отрезка AB при отражении относительно плоскости α, если точки A и B не лежат в α. Отрезок определяется двумя концами, поэтому достаточно правильно построить образы этих концов. Важно отразить обе точки относительно одной и той же плоскости.

1. Проведите из A и B перпендикуляры к α и отметьте основания.
2. За плоскостью на каждом перпендикуляре отложите расстояние, равное расстоянию соответствующей исходной точки до α. Получите образы A′ и B′.
3. Соедините A′ и B′. Полученный отрезок A′B′ — образ AB; его длина равна длине AB, поскольку отражение сохраняет расстояния.

Ответ: образ отрезка — A′B′, где A′ и B′ построены отражением концов A и B.

Задача 3. Докажите, что плоскость, содержащая диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды и проходящая через её вершину, является плоскостью симметрии пирамиды. Обозначим вершину пирамиды S, а диагональ квадратного основания — AC. Плоскость SAC содержит S и диагональ, а симметрия квадрата относительно этой диагонали меняет местами две другие вершины.

1. В квадрате основания отражение относительно диагонали AC оставляет A и C на месте и меняет местами две остальные вершины.
2. Вершина S принадлежит плоскости SAC, поэтому при отражении остаётся неподвижной. Точки диагонали AC также неподвижны, так как лежат в плоскости отражения.
3. Боковые рёбра, выходящие из S к двум меняющимся вершинам, переходят друг в друга. Следовательно, все вершины пирамиды переходят в вершины той же пирамиды, а рёбра и грани — в её рёбра и грани.

Ответ: плоскость SAC переводит пирамиду в себя и является её плоскостью симметрии.

Типичные ошибки

Образ откладывают в произвольном направлении. Так можно сделать, если воспринимать отражение как простое перемещение в другую сторону, но тогда построение нарушит определение. Проверь, что отрезок между точкой и образом перпендикулярен плоскости отражения. Если это не так, полученная точка не является образом.

Точку и её образ размещают на разных расстояниях от плоскости. Ошибка часто возникает из-за неверно выбранного основания перпендикуляра или неаккуратного откладывания отрезка. Плоскость должна делить отрезок между точкой и образом пополам, поэтому расстояния от его концов до плоскости равны. Проверка: измерь обе части перпендикуляра от плоскости до точек.

Неподвижной считают только точку пересечения перпендикуляра с плоскостью. Это происходит, когда правило строят лишь на одном перпендикуляре и не распространяют его на всю плоскость. При отражении остаются на месте все точки плоскости отражения, ведь каждая из них совпадает со своим образом. Проверь, не перемещаешь ли ты точку, которая лежит в этой плоскости.

Плоскость симметрии путают с плоскостью, в которой лежит фигура. Само по себе расположение фигуры в какой-либо плоскости ещё не означает, что эта плоскость переводит фигуру в себя при отражении. Нужно отразить точки фигуры и убедиться, что все их образы принадлежат ей. Если хотя бы один образ оказался вне фигуры, симметрии относительно этой плоскости нет.

Связь с другими темами

Для построения отражения нужны знания о перпендикулярности прямой и плоскости, а также о расстоянии от точки до плоскости. Понятие середины отрезка помогает понять, почему точка и её образ равноудалены от плоскости. Отражение относится к движениям пространства: оно сохраняет расстояния и тем самым связывает симметрию с равенством фигур. Эти идеи пригодятся при изучении симметрий многогранников и при построении образов пространственных фигур.

Что запомнить

• Плоскость отражения делит отрезок между точкой и её образом пополам под прямым углом.
• Точки плоскости отражения остаются неподвижными.
• Образ точки находится на таком же расстоянии от плоскости, но по другую сторону.
• Отражение сохраняет расстояния и углы.
• Два последовательных отражения относительно одной плоскости возвращают исходную фигуру.
• Плоскость симметрии отражает фигуру в саму себя.