39.4. Поворот вокруг прямой

Определения и обозначения

Поворот вокруг прямой — движение пространства, при котором точки этой прямой остаются на месте, а остальные точки перемещаются по окружностям с центрами на прямой. Такое преобразование нужно, чтобы описывать вращение пространственных фигур и строить их новые положения. Оно отличается от поворота на плоскости тем, что в пространстве задаётся не одна неподвижная точка, а целая прямая.

Ось поворота — прямая, каждая точка которой совпадает со своим образом. Именно ось задаёт, вокруг чего происходит преобразование, и помогает определить центры окружностей, по которым движутся остальные точки. В задачах её обычно называют или изображают отдельно от поворачиваемой фигуры.

Угол поворота — угол, на который перемещаются точки в плоскостях, перпендикулярных оси; его величина одинакова для всех этих плоскостей. Чтобы выбрать нужное положение, также договариваются о направлении отсчёта угла. Угол показывает, насколько далеко от исходного положения должна переместиться точка.

Образ точки при повороте — точка, полученная из исходной после поворота вокруг заданной прямой на заданный угол. Обозначая образ, например, A′, можно проследить, куда переместилась точка A, и затем использовать эту конструкцию для вершин фигуры. Пара A и A′ задаёт исходное и новое положения одной точки.

Как это устроено

Чтобы задать поворот, сначала выбирают ось и величину угла, а затем фиксируют направление его отсчёта. Одного угла недостаточно: поворот на 60° в одну сторону и поворот на 60° в противоположную сторону обычно приводят к разным положениям точки. Направление выбирают согласованно для всех перпендикулярных оси плоскостей. Поэтому любой точке фигуры соответствует один и тот же поворот, а не произвольное перемещение.

Точка вне оси движется по окружности, потому что её расстояние до оси не меняется. Опустим из точки перпендикуляр на ось: расстояние до основания этого перпендикуляра остаётся постоянным при вращении. Точка при этом лежит в плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через неё и основание перпендикуляра. В этой плоскости расстояние до основания постоянно, а множество таких положений образует окружность.

Чтобы построить образ точки A, проводят через неё плоскость, перпендикулярную оси поворота. Эта плоскость пересекает ось в точке O, которая является основанием перпендикуляра из A на ось. Затем в плоскости рассматривают обычный поворот вокруг центра O: радиус OA сохраняют, а луч OA поворачивают на заданный угол в установленном направлении. Конец полученного луча на окружности и есть образ A′.

Точки оси неподвижны по определению: поворот происходит вокруг этой прямой, поэтому расстояние каждой её точки до центра поворота в соответствующем сечении равно нулю. Расстояния между любыми двумя точками также сохраняются, потому что поворот в каждой перпендикулярной плоскости сохраняет длины, а всё преобразование является движением пространства. В результате не меняются ни длины отрезков, ни форма фигуры. Именно поэтому фигура и её образ равны.

Образ фигуры получают, поворачивая каждую её точку на одинаковый угол вокруг общей оси. Для многоугольника не требуется строить бесконечно много точек: достаточно найти образы вершин, а затем соединить их в прежнем порядке. При построении каждой вершины центр окружности определяется отдельно — это основание перпендикуляра от неё к оси. Так сохраняется вся фигура, а не только её положение в пространстве.

Как поворот вокруг прямой действует на точки и фигуры

Таблица помогает отдельно проверить поведение оси, одной точки и всей фигуры. При построении сначала находят траекторию точки, а затем используют сохранение расстояний для проверки результата. Если длина отрезка или расстояние до оси изменились, построение выполнено неверно.

Разбор задач

Траектория точки

Условие. Точка A находится на расстоянии 3 см от оси поворота. Опишите её траекторию при повороте на 120°. Нужно определить не только радиус, но и положение плоскости и центра окружности. Угол указывает, какое положение точки соответствует указанному повороту.

1. Опускаем из A перпендикуляр к оси и обозначаем основание через O. По определению расстояния от точки до прямой OA = 3 см.
2. Через A проводим плоскость, перпендикулярную оси. В ней точка A вращается вокруг O, поскольку расстояние OA при движении не меняется.
3. Значит, траектория лежит на окружности с центром O и радиусом 3 см. Поворот на 120° задаёт положение образа на этой окружности, но не изменяет саму траекторию.

Ответ: окружность радиуса 3 см с центром на оси в основании перпендикуляра из A. Она лежит в плоскости, проходящей через A и перпендикулярной оси.

Построение образа точки

Условие. Даны ось поворота, точка A вне неё и угол 90°. Требуется построить A′. Сначала нужно определить, вокруг какой точки выполнять плоское построение: ею не может быть произвольная точка оси. Центр определяется положением самой A относительно оси.

1. Проводим через A плоскость, перпендикулярную оси; обозначим точку её пересечения с осью через O. Тогда OA — расстояние от A до оси и радиус окружности траектории.
2. В этой плоскости проводим окружность с центром O и радиусом OA. Строим луч, перпендикулярный OA, и выбираем его сторону согласно принятому направлению поворота.
3. Пересечение выбранного луча с окружностью обозначаем A′. Угол AOA′ равен 90°, а длина OA′ равна OA, поэтому построение соответствует повороту.

Ответ: точка A′, полученная указанным построением. Если направление отсчёта не задано, возможны два положения на окружности, соответствующие повороту на 90° в противоположные стороны.

Образ треугольника

Условие. Треугольник ABC повернули вокруг прямой на 60°. Нужно построить его образ и доказать, что он равен исходному. Поворот применяется к каждой вершине отдельно, но ось и угол для всех вершин общие. После построения важно соединить новые точки в том же порядке.

1. Для вершины A строим перпендикуляр к оси, находим основание Oₐ и поворачиваем A в её перпендикулярной плоскости на 60°. Получаем A′.
2. Аналогично строим B′ и C′, каждый раз используя собственное основание перпендикуляра на ось и то же направление отсчёта угла.
3. Соединяем A′, B′ и C′. Поскольку поворот сохраняет расстояния, A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA. Следовательно, треугольники ABC и A′B′C′ равны по трём сторонам.

Ответ: искомый образ — треугольник A′B′C′; он равен ABC, поскольку поворот сохраняет длины всех его сторон.

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что все точки движутся в одной плоскости. Такое представление возникает, если мысленно заменить пространственное вращение поворотом плоской фигуры; однако каждая точка вне оси лежит в своей плоскости, перпендикулярной оси. Проверка: для каждой выбранной точки проведите отдельную перпендикулярную плоскость и найдите её пересечение с осью.

Иногда окружность траектории строят с произвольным центром, потому что забывают, от чего зависит постоянное расстояние. Центр должен быть основанием перпендикуляра из точки к оси, а не просто удобной точкой на ней. Проверьте, что радиус окружности равен расстоянию от исходной точки до оси. Если это не так, траектория выбрана неверно.

Неверно полагать, что при повороте перемещаются и точки оси. Это происходит, если представлять ось как обычную линию фигуры, а не как неподвижную часть преобразования. Проверка простая: любая точка оси должна совпасть со своим образом при любом угле. Если построенная точка оси сместилась, построение противоречит определению.

Ещё одна ошибка — поворачивать фигуру вокруг одной точки, как при плоском преобразовании. Так можно случайно получить нужное положение одной вершины, но не учесть разные расстояния вершин до оси. Для проверки у каждой вершины найдите собственное основание перпендикуляра к оси и выполните поворот в её плоскости. Общими остаются ось, угол и направление, а центры окружностей могут различаться.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны поворот на плоскости, перпендикулярность прямой и плоскости и расстояние от точки до прямой: именно плоский поворот выполняют в сечении, перпендикулярном оси. Поворот вокруг прямой относится к движениям пространства и помогает описывать вращательную симметрию тел, например цилиндра и конуса. Понимание сохранения расстояний пригодится при изучении пространственных преобразований и решении задач на равенство фигур.

Что запомнить

• Поворот вокруг прямой задаётся осью, углом и направлением его отсчёта.
• Все точки оси остаются неподвижными.
• Точка вне оси движется по окружности в плоскости, перпендикулярной оси.
• Центр окружности траектории — основание перпендикуляра из точки к оси.
• Поворот сохраняет расстояния между точками.
• Образ фигуры строят по образам её характерных точек.