39.5. Осевая симметрия в пространстве

Определения и обозначения

Осевая симметрия в пространстве — преобразование, при котором каждая точка поворачивается на 180° вокруг фиксированной прямой. Иными словами, точка совершает половину полного оборота вокруг этой прямой. Это определение позволяет сразу отличить осевую симметрию от отражения относительно плоскости.

Ось симметрии — прямая, относительно которой выполняется поворот на 180° и которая остаётся неподвижной. Её обозначают, например, буквой l. Зная ось, можно определить, куда перейдёт любая точка пространства.

Симметричные точки относительно прямой — точки, для которых эта прямая перпендикулярна отрезку, соединяющему точки, и проходит через его середину. Такой признак используют при построении образа и доказательстве правильности построения. Если точка лежит на оси, её образ совпадает с ней самой.

Фигура, симметричная относительно оси, — фигура, совпадающая со своим образом при осевой симметрии. То есть после поворота на 180° все её точки занимают места точек той же фигуры. Это определение помогает проверять симметрию целого тела, а не только отдельных его точек.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A, проведите из неё перпендикуляр к оси и обозначьте основание перпендикуляра H. Затем на продолжении AH за осью отметьте точку A′ так, чтобы HA′ = HA. Перпендикуляр нужен потому, что кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряют именно по перпендикуляру; равные отрезки по разные стороны оси обеспечивают, что H — середина AA′. Если A лежит на оси, то H = A и образ не смещается.

Поворот на 180° вокруг прямой равносилен осевой симметрии, потому что точка вне оси движется по окружности в плоскости, перпендикулярной оси. Центр этой окружности лежит на оси, а её радиус равен расстоянию от точки до оси. После половины оборота точка окажется на противоположном конце диаметра, поэтому ось перпендикулярна отрезку между начальной и конечной точками и делит его пополам. Так геометрическое условие для пары симметричных точек следует из поворота.

Каждая точка оси остаётся на месте, поскольку расстояние от неё до оси равно нулю. Для точки вне оси радиус окружности вращения положителен, поэтому она перемещается. Это объясняет, почему ось состоит из неподвижных точек, а не просто переходит сама в себя. При проверке преобразования достаточно отдельно учитывать точки на оси и точки вне неё.

Осевая симметрия сохраняет расстояния и углы, поскольку является движением — преобразованием, не меняющим расстояния между точками. Например, образ отрезка имеет ту же длину, а соответствующие углы равны; параллельные прямые переходят в параллельные прямые. Прямая переходит в прямую, а плоскость — в плоскость: их образы можно задать образами двух точек прямой или трёх не лежащих на одной прямой точек плоскости. Эти свойства позволяют переносить геометрические отношения на образы объектов.

Чтобы доказать, что фигура симметрична относительно заданной оси, возьмите произвольную точку фигуры и установите, что её образ при повороте снова принадлежит этой фигуре. Произвольность точки важна: проверка только нескольких вершин или удобных точек сама по себе не охватывает всю фигуру. Для тел часто удобно описать их устройство — например, показать, что основание и боковые элементы переходят в себя. Тогда принадлежность образа можно обосновать для каждой точки тела.

Основные свойства осевой симметрии в пространстве

В первом столбце найдите объект, о котором говорится в задаче, а во втором — результат преобразования. Третий столбец подсказывает, какое свойство можно использовать в доказательстве. Для фигуры проверяйте не только отдельные элементы, но и принадлежность образа произвольной точки.

Разбор задач

Построение симметричной точки

Условие. Дана прямая l и точка A вне неё. Постройте точку A′, симметричную A относительно l, и докажите правильность построения. Нужно получить точку так, чтобы l была перпендикулярна AA′ и проходила через его середину.

1. Проведите через A прямую, перпендикулярную l, и обозначьте точку её пересечения с l буквой H. Такая прямая задаёт направление кратчайшего расстояния от A до оси.
2. Продолжите AH за точку H. Циркулем или измерением отложите на продолжении отрезок HA′, равный HA.
3. По построению точки A, H и A′ лежат на одной прямой, причём эта прямая перпендикулярна l. Равенство HA = HA′ означает, что H — середина AA′, следовательно, l проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.
4. По признаку симметричных точек относительно прямой A′ является образом A при осевой симметрии относительно l. Равенство отрезков нужно проверить именно от основания H, а не от произвольной точки оси.

Ответ: искомая точка A′ находится на продолжении перпендикуляра за l, причём HA′ = HA.

Координаты образов точки и отрезка

Условие. Ось симметрии совпадает с Oz. Найдите образ точки A(2; −3; 5) и отрезка AB, если B(−1; 4; 0). Поворот оставляет координату вдоль оси неизменной, а координаты в перпендикулярной плоскости меняет на противоположные.

1. Используйте правило поворота на 180° вокруг Oz: (x; y; z) переходит в (−x; −y; z). Первые две координаты описывают положение в плоскости, перпендикулярной оси, третья задаёт высоту вдоль неё.
2. Для точки A получаем A′(−2; 3; 5): меняем знаки x и y, оставляя z = 5.
3. Для точки B получаем B′(1; −4; 0). Образ отрезка AB — отрезок A′B′, поэтому его концы соединяем именно в этих парах.
4. Проверка: расстояние от каждой точки до Oz не меняется, а координата вдоль оси сохраняется. Это согласуется с поворотом вокруг Oz.

Ответ: A′(−2; 3; 5), образ AB — отрезок A′B′, где B′(1; −4; 0).

Ось симметрии тела

Условие. Докажите осевую симметрию цилиндра или подходящей правильной призмы относительно прямой, проходящей через центры их оснований, и укажите образ произвольной точки поверхности. Для призмы нужно учитывать форму основания: оно должно переходить в себя при повороте на 180°, например, у призмы с правильным чётносторонним основанием.

1. Рассмотрите поворот на 180° вокруг прямой через центры оснований. Эта прямая перпендикулярна основаниям и задаёт ось преобразования.
2. У цилиндра круговое основание при таком повороте переходит в себя: каждая точка окружности переходит в противоположную. Образующая переходит в образующую, поэтому боковая поверхность цилиндра также сохраняется.
3. У указанной призмы основание переходит в себя благодаря центральной симметрии правильного чётностороннего многоугольника. Боковые грани и второе основание при повороте также переходят в соответствующие грани и основание.
4. Значит, произвольная точка поверхности после поворота остаётся на поверхности того же тела. Её образ определяется как конец диаметра окружности вращения с центром на оси; для точки на оси образ совпадает с ней.

Ответ: указанная прямая является осью симметрии цилиндра и призмы с подходящим основанием; образ точки — её положение после поворота на 180° вокруг этой прямой.

Типичные ошибки

Путают осевую симметрию с симметрией относительно плоскости. Ошибка возникает из-за общего слова «симметрия», хотя преобразования устроены по-разному. В первом случае точку поворачивают вокруг прямой, во втором отражают через плоскость. Проверьте, задана ли ось-прямая или плоскость, и представьте, какое именно движение выполняется.

Считают, что точки оси переходят в другие точки оси. Так рассуждают, воспринимая ось как множество, которое сохраняется, но забывая, что каждая её точка неподвижна. Расстояние точки оси до самой оси равно нулю, поэтому при повороте она не проходит никакой дуги. Для проверки возьмите любую точку оси и примените к ней поворот на 180°.

Проводят отрезок к оси не перпендикулярно. Тогда даже равные отрезки по обе стороны оси не гарантируют нужное условие для симметричных точек. Часто путают произвольное направление к прямой с кратчайшим расстоянием, которое измеряется перпендикуляром. Проверьте одновременно два условия: ось перпендикулярна отрезку между точками и проходит через его середину.

Доказывают симметрию только для нескольких точек. Вершины или удобные точки могут перейти правильно, но этого недостаточно, чтобы сделать вывод обо всей фигуре. Такая ошибка появляется, когда свойства отдельных элементов принимают за доказательство свойства множества точек. Для проверки сформулируйте рассуждение для произвольной точки фигуры и покажите, что её образ также принадлежит фигуре.

Связь с другими темами

Для построения образа нужны перпендикулярность прямой и плоскости, середина отрезка и понятие расстояния. Представление об осевой симметрии как о повороте связывает тему с преобразованиями пространства; координаты и векторы позволяют записывать такие преобразования вычислительно. Далее эти знания применяются при изучении симметрии многогранников и тел вращения. Они также помогают решать задачи на построение и доказывать равенство фигур, используя сохранение расстояний и углов.

Что запомнить

• Осевая симметрия в пространстве — это поворот на 180° вокруг прямой.
• Ось симметрии состоит из неподвижных точек.
• Ось перпендикулярна отрезку, соединяющему симметричные точки.
• Ось делит отрезок между симметричными точками пополам.
• Осевая симметрия сохраняет расстояния и углы.
• Фигура симметрична относительно оси, если после поворота на 180° совпадает сама с собой.