"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Параллельный перенос перемещает каждую точку фигуры на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Его задают направленным отрезком: он указывает и длину перемещения, и его сторону. При таком преобразовании фигура не меняет форму и размеры, а только занимает другое положение. Поэтому параллельный перенос помогает строить равные фигуры и доказывать, что соответствующие отрезки и углы сохраняются.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельный перенос — преобразование плоскости, при котором каждая точка перемещается на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Иными словами, вся фигура сдвигается целиком, не поворачиваясь и не растягиваясь. Это определение позволяет отличить перенос от других движений: для всех точек действует одно общее правило.
Перенос можно задать направленным отрезком: его направление показывает, куда сдвигать точки, а длина — на какое расстояние. Если точка A переходит в точку A′, то отрезок AA′ указывает перемещение A. Для любой другой точки B отрезки AA′ и BB′ должны быть равны по длине и направлению; так проверяют, что точки действительно получены одним переносом.
Точку, полученную после преобразования, называют образом исходной точки: A′ — образ A, а A — прообраз A′. Штрих у буквы помогает не перепутать исходную фигуру и перемещённую. Если перенос задан направлением и длиной отрезка PQ, то образ каждой точки X обозначают X′, причём XX′ должен быть равен PQ и направлен так же.
Представь, что на прозрачном листе нарисована фигура и лист сдвинули, не поворачивая. Все её точки переместились одинаково: если бы одна точка прошла дальше или в другую сторону, рисунок растянулся бы или изменил форму. Поэтому для параллельного переноса важно задать сразу две вещи — направление и длину сдвига, — и одинаково применить их ко всем точкам.
Образ точки строят так: через исходную точку проводят прямую в направлении переноса, затем откладывают на ней заданное расстояние. Полученная точка и есть её образ. Если перенос задан отрезком PQ, то от каждой точки X откладывают отрезок XX′, равный PQ и направленный так же; нельзя откладывать его в обратную сторону, иначе получится перенос по другому направлению.
Чтобы перенести отрезок, достаточно построить образы двух его концов и соединить их. Так можно поступить потому, что отрезок состоит из точек, перемещающихся по одному правилу, а его концы переходят в соответствующие концы образа. Для треугольника строят образы трёх вершин, после чего соединяют их в том же порядке; остальные точки фигуры автоматически перемещаются тем же способом.
Перенос сохраняет расстояния: если точки A и B перешли в A′ и B′, длина A′B′ равна AB. Причина в том, что оба конца сдвинули одинаково, поэтому расстояние между ними не изменилось. Сохраняются и углы, так как направления сторон фигуры меняются согласованно; следовательно, образ фигуры равен исходной и имеет те же форму и размеры.
Прямая при переносе переходит в параллельную ей прямую, а если направление переноса совпадает с этой прямой, то она переходит в себя. Это происходит потому, что каждая её точка сдвигается по параллельному направлению на одинаковую длину. Поэтому параллельный перенос удобен, когда нужно получить равную фигуру в другом месте или обосновать параллельность соответствующих прямых.
| Что рассматриваем | Что происходит при переносе | Как проверить |
|---|---|---|
| Точка X | Переходит в X′ на заданное расстояние и в заданном направлении | Сравнить XX′ с направляющим отрезком |
| Отрезок AB | Переходит в равный ему отрезок A′B′ | Проверить, что AB = A′B′ |
| Угол | Переходит в равный угол | Сравнить величины исходного угла и его образа |
| Прямая | Переходит в параллельную ей прямую или в себя | Сравнить направления прямой и её образа |
| Фигура | Сохраняет форму и размеры | Сопоставить соответствующие стороны и углы |
В таблице собраны признаки, которые помогают описывать образ разных геометрических объектов. Сначала проверь, что точки перемещены одним и тем же направленным отрезком, а затем используй нужное свойство. Например, равенство соответствующих отрезков позволяет не измерять образ фигуры заново.
Задача. Треугольник ABC нужно перенести на направленный отрезок PQ. Постройте образ треугольника и объясните, почему он равен исходному. В задаче не заданы координаты или конкретная длина: направление и длину переноса полностью задают точки P и Q. Значит, каждой вершине нужно сопоставить точку, перемещённую так же, как из P в Q.
Через вершину A проведите прямую, параллельную PQ. На ней отметьте точку A′ так, чтобы AA′ была равна PQ и направлена от P к Q. Это задаёт для первой вершины нужное перемещение, а не просто произвольную точку на параллельной прямой.
Аналогично постройте B′ и C′: отрезки BB′ и CC′ должны быть равны PQ и иметь то же направление, что и PQ. Перед следующим шагом проверьте, что все три отрезка-«сдвига» одинаковы по длине и параллельны с одинаковым направлением. Иначе вершины будут получены разными преобразованиями.
Соедините A′, B′ и C′ в том же порядке, в каком были соединены A, B и C. Получится треугольник A′B′C′ — образ исходного треугольника. Порядок соединения сохраняет соответствие сторон: AB соответствует A′B′, BC — B′C′, а CA — C′A′.
Сравните соответствующие стороны и углы. Параллельный перенос сохраняет расстояния и величины углов, поэтому A′B′ = AB, B′C′ = BC, C′A′ = CA, а соответствующие углы равны. По этим признакам треугольники ABC и A′B′C′ равны.
Ответ: образ — треугольник A′B′C′, построенный перемещением каждой вершины на направленный отрезок PQ. Он равен треугольнику ABC, потому что перенос сохраняет длины сторон и величины углов. Если построение выполнено верно, отрезки AA′, BB′ и CC′ равны PQ и направлены так же.
Откладывают направляющий отрезок в обратную сторону. Такую ошибку допускают, когда замечают длину, но не учитывают направление: равная длина сама по себе ещё не задаёт перенос. Проверь, откуда и куда направлен отрезок PQ, и сравни стрелки PQ и XX′, если направление отмечено.
Перемещают вершины на разные расстояния. Иногда каждую вершину строят отдельно и случайно выбирают для неё свой сдвиг; полученная фигура может измениться. Проверь, что все отрезки от исходных точек к образам равны по длине и параллельны с одинаковым направлением.
Считают, что параллельности достаточно. Образы точек могут лежать на прямых, параллельных направлению переноса, но находиться на разных расстояниях от исходных точек. Сравни не только направление, но и длину каждого перемещения; все они должны совпадать с заданным направленным отрезком.
Путают исходную фигуру и её образ. Из-за обозначений A и A′ легко соединить точки не в том порядке или перепутать соответствующие стороны. Сначала подпиши каждую новую вершину штрихом, затем сопоставь её с исходной и только после этого соединяй вершины в прежнем порядке.
Параллельный перенос использует понятия параллельных прямых, равных отрезков и углов: без них трудно задать направление и проверить результат построения. Его свойства связаны с равенством фигур, потому что после переноса сохраняются стороны и углы. При изучении координат перенесённые точки удобно описывать числами, но геометрический смысл остаётся прежним: каждая точка получает одинаковое смещение.
Параллельный перенос сдвигает каждую точку на одинаковое расстояние в одном направлении.
Его задают направлением и длиной; образ точки X обозначают X′.
При построении фигуры нужно одинаково перенести все её вершины и соединить их в прежнем порядке.
Перенос сохраняет расстояния, углы, форму и размеры фигуры.
Для проверки сравнивай направление и длину каждого перемещения с заданным направленным отрезком.
116. Параллельный перенос
