§ 2. Параллельный перенос и поворот

Определения и обозначения

Движение — преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между любыми точками. Иными словами, после преобразования точки могут оказаться в другом месте, но расстояние между каждой парой из них не меняется. Поэтому фигура и её образ имеют одинаковые размеры и форму. Движения нужны, чтобы описывать перемещение фигур без их растяжения или сжатия.

Параллельный перенос — преобразование, при котором все точки перемещаются на один и тот же вектор. Вектор — направленный отрезок, у которого важны длина и направление; его обычно задают стрелкой, например вектором MN. Перенос обозначают указанием этого вектора: при переносе на вектор MN точка A переходит в A′. Одного вектора достаточно, чтобы задать перемещение каждой точки плоскости.

Поворот — преобразование плоскости вокруг фиксированной точки на заданный угол. Фиксированная точка называется центром поворота, а угол и направление показывают, насколько и куда поворачивать фигуру. Направление задают, например, по часовой стрелке или против неё. Без центра, величины угла и направления нельзя однозначно выполнить поворот.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при преобразовании. Если точка A при переносе или повороте переходит в точку A′, то A′ называют образом точки A, а A — прообразом A′. Штрих помогает отличать образ от исходной точки. Точно так же записывают соответствия B → B′, C → C′ и для других точек.

Как это устроено

Параллельный перенос задаётся одним вектором, потому что правило перемещения для всех точек одинаково: каждой надо прибавить одно и то же направление и расстояние. Поэтому отрезки от точек к их образам равны и параллельны: например, AA′ и BB′ имеют одну длину, одинаковое направление и не пересекаются, если лежат на разных прямых. Если бы точки перемещались на разные расстояния или в разные стороны, фигура могла бы изменить форму. Единый вектор сохраняет согласованное положение всех точек.

Чтобы построить образ точки при переносе, через неё проводят направление, параллельное вектору переноса, и откладывают длину этого вектора в нужную сторону. Конец отложенного отрезка и есть образ точки. Для отрезка AB достаточно построить образы A′ и B′, а затем соединить их. Такой способ работает, потому что перенос применяется к каждой точке отрезка, а его концы определяют сам отрезок.

Для поворота сначала фиксируют центр O, затем для точки A проводят луч OA. Образ A′ должен находиться на таком же расстоянии от центра, то есть OA′ = OA, а угол между лучами OA и OA′ должен быть заданным. Направление отсчёта выбирают по условию: поворот по часовой стрелке и против неё может привести к разным точкам. Поэтому для построения отмечают на луче нужный угол и откладывают на новом луче длину OA.

И перенос, и поворот сохраняют расстояния между точками, а значит, длины отрезков не меняются. Равенство расстояний сохраняет и углы: стороны угла переходят в отрезки прежней длины, а положение лучей меняется согласованно. Параллельные прямые также остаются параллельными, поэтому не меняются форма и соотношения частей фигуры. Меняется расположение фигуры на плоскости, но не её размер и не очертания.

Чтобы получить образ фигуры, преобразуют все её вершины, а затем соединяют их в том же порядке, что и в исходной фигуре. Например, образ треугольника ABC — треугольник A′B′C′, стороны которого соединяют соответствующие образы вершин. Прямая при движении переходит в прямую: её точки после преобразования по-прежнему лежат на одной прямой. Поэтому отрезок переходит в отрезок, равный исходному; его концами становятся образы концов исходного отрезка.

Сравнение параллельного переноса и поворота

Пользуйся таблицей, чтобы сначала проверить, чем задано преобразование: вектором или центром и углом. Затем сравни, как перемещаются точки и какие свойства фигуры сохраняются. Для определения движения по рисунку проверяй сразу несколько соответствующих точек.

Разбор задач

Задача 1. Перенос треугольника

Условие. Построить образ треугольника ABC при параллельном переносе на вектор, заданный отрезком MN. Нужно перенести каждую вершину по одному правилу, а не просто нарисовать похожий треугольник рядом. Вектор MN задаёт и длину, и направление смещения.

1. Через точку A проведи прямую, параллельную MN, и отложи от A отрезок AA′, равный MN и направленный так же, как вектор MN.
2. Повтори построение для B и C: получи BB′ и CC′, равные и параллельные MN, с тем же направлением.
3. Соедини A′, B′ и C′ в том же порядке, что вершины исходного треугольника. Так сохраняется соответствие сторон и получается образ всей фигуры.

Ответ: треугольник A′B′C′ — образ ABC при переносе на вектор MN. Проверка проста: векторы AA′, BB′ и CC′ должны совпасть по длине и направлению с вектором переноса. Если хотя бы одно направление отличается, построение неверно.

Задача 2. Поворот отрезка

Условие. Точка A при повороте вокруг O на 90° по часовой стрелке переходит в A′. Построить образ отрезка AB и определить его длину. Длина исходного отрезка AB считается известной или измеряется на чертеже. Поскольку поворот действует на всю плоскость, нужно преобразовать и точку B.

1. Проведи луч OB и отложи от него угол 90° по часовой стрелке. Так получишь направление луча к образу B′, не меняя направление отсчёта.
2. На новом луче отметь точку B′ так, чтобы OB′ = OB. Равенство расстояний до центра необходимо для правильного поворота.
3. Соедини A′ и B′. Образ исходного отрезка — отрезок A′B′, а его длина равна AB, потому что поворот сохраняет расстояния.

Ответ: искомый образ — A′B′, его длина равна AB. Числовое значение длины без данных о самом отрезке определить нельзя. При проверке убедись, что и A, и B повернуты вокруг одного центра O на одинаковый угол и в одну сторону.

Задача 3. Как определить движение

Условие. Дан квадрат ABCD и его образ A′B′C′D′. Определить, каким движением выполнено преобразование, и построить образ точки внутри квадрата. По одному совпадению длин сторон сделать вывод нельзя: квадрат сохраняет форму при разных движениях. Нужно сравнить соответствующие вершины.

1. Построй или сравни векторы AA′, BB′, CC′ и DD′. Если они все равны и одинаково направлены, преобразование является параллельным переносом.
2. Если такого совпадения нет, проверь, можно ли найти общий центр, от которого исходные и образные вершины находятся на равных расстояниях, а лучи повёрнуты на один угол. Это указывает на поворот.
3. Для точки внутри квадрата примени найденное правило: перенеси её на общий вектор либо поверни вокруг найденного центра на тот же угол и в ту же сторону.

Ответ: вид движения определяют по соответствию вершин, а образ внутренней точки строят тем же преобразованием. Если проверка не подтверждает ни один вариант, нельзя выбирать движение наугад: нужно перепроверить, какие вершины соответствуют друг другу и точен ли чертёж. При любом из двух движений образ внутренней точки останется внутри образа квадрата.

Типичные ошибки

Ошибка: считать переносом любое перемещение, даже если разные точки сдвинуты по-разному. Так происходит, когда ориентируются только на общий вид фигуры и не проверяют её вершины. Проверь себя: векторы от каждой исходной точки к её образу должны совпадать по длине и направлению.

Ошибка: перепутать направление поворота или начать отсчёт угла не от исходного луча. Это часто случается, если на чертеже не указано, где именно откладывать угол. Сначала проведи луч от центра к исходной точке, затем отсчитай заданный угол в выбранную сторону и проверь результат по условию.

Ошибка: построить образ фигуры только по одной вершине. Её образ не определяет положение остальных вершин, если не применить к ним то же правило. Преобразуй все существенные точки, прежде всего вершины, а затем соедини их в исходном порядке; сравни полученные стороны с исходными.

Ошибка: утверждать, что при любом повороте все точки остаются на месте. Путают неподвижный центр с остальными точками фигуры. Проверь каждую точку: центр действительно не меняется, а точка на ненулевом расстоянии от центра обычно перемещается, если угол не равен полному обороту.

Связь с другими темами

Для построений нужны знания о параллельных прямых, равенстве фигур, измерении углов и проведении перпендикуляров. Координаты и векторы позволяют описывать перенос вычислением: к координатам точки прибавляют координаты вектора. Движения пригодятся при изучении симметрий, признаков равенства фигур, геометрических построений и преобразований координат. Они помогают увидеть, что фигуру можно переместить, не меняя её размеров.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между точками.
• Параллельный перенос задаётся одним вектором.
• При параллельном переносе все точки смещаются одинаково.
• Поворот задаётся центром, углом и направлением.
• Центр поворота остаётся неподвижным.
• При движении сохраняются длины, углы, параллельность и форма фигур.