"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Наложение помогает понять, когда две фигуры равны: их можно совместить так, чтобы соответствующие точки совпали. Геометрическое движение задаёт соответствие между всеми точками плоскости и сохраняет расстояние между каждой парой точек. Поэтому после движения фигура не меняет форму и размер, а переходит в равную себе. Главное — правильно определить, какие точки соответствуют друг другу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Наложение одной фигуры на другую — такое совмещение, при котором соответствующие точки фигур совпадают. При этом расстояния между точками не меняются, потому что фигура не растягивается и не сжимается. Это понятие помогает описать, что значит совместить фигуры и проверить, одинаковы ли их форма и размеры.
Движение — соответствие между точками плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами. Образ точки — точка, в которую она переходит при этом соответствии. Такое определение нужно, чтобы точно описывать не только перенос конкретной фигуры, но и правило для всей плоскости.
Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить наложением так, чтобы они совпали. Их соответствующие точки при совмещении оказываются в одном месте, а расстояния между ними одинаковы. Это определение позволяет отличить равенство фигур от простого сходства формы.
Если при движении точка A переходит в точку A′, то A′ называют образом A; штрих показывает соответствие. Если B переходит в B′, расстояние между образами записывают A′B′. Обозначения нужны, чтобы не перепутать исходные точки с теми, в которые они перешли.
При наложении мы совмещаем точки фигур, а не изменяем саму фигуру. Если расстояние между двумя её точками стало бы другим, пришлось бы растянуть или сжать часть фигуры, и точки уже не совпали бы при совмещении. Поэтому при настоящем наложении форма и размеры сохраняются.
Движение задаёт пары точек: каждой точке плоскости соответствует её образ. Оно действует не только на вершины выбранной фигуры, но и на все остальные точки плоскости. Благодаря этому можно говорить о движении как о преобразовании плоскости, а затем применять его к любой фигуре, находящейся на ней.
Пусть A и B — любые две точки, а A′ и B′ — их образы при движении. По определению расстояние между точками не меняется, поэтому AB = A′B′. Слово «любые» означает, что это верно для каждой пары точек, а не только для одной стороны или отдельных вершин.
Фигура состоит из точек, и при движении каждая из них получает свой образ. Расстояния между всеми парами этих точек остаются прежними, поэтому взаимное расположение точек фигуры сохраняется. Образ не становится ни шире, ни уже, ни длиннее исходной фигуры — значит, движение переводит фигуру в равную ей.
Верно и обратное рассуждение: если две фигуры можно совместить наложением, то каждой точке первой соответствует совпавшая с ней точка второй. Расстояния между соответствующими точками при этом не меняются. Значит, такое совмещение задаёт движение, которое переводит одну фигуру в другую.
| Понятие | Что происходит с точками | Что сохраняется | Следствие для фигур |
|---|---|---|---|
| Наложение | Соответствующие точки совмещаются | Расстояния между точками | Фигуры могут совпасть при совмещении |
| Движение | Каждая точка плоскости переходит в свой образ | Расстояния между любой парой точек | Фигура переходит в равную ей фигуру |
| Равные фигуры | При наложении соответствующие точки совпадают | Форма, размеры и соответствующие расстояния | Фигуры можно совместить наложением |
Сначала найдите, какому понятию соответствует описанное действие с точками. Затем проверьте, какие расстояния должны сохраниться и что из этого следует для фигур. Такая последовательность помогает не путать наложение, движение и равенство.
Задача 1. Две фигуры на рисунке можно совместить наложением. Объясните, почему они равны.
Рассуждаем по определению: равными называют фигуры, которые можно совместить наложением.
По условию соответствующие точки фигур при наложении совпадут, а расстояния между ними сохранятся.
Значит, одна фигура при совмещении полностью совпадает с другой, поэтому фигуры равны.
Ответ: фигуры равны, так как их можно совместить наложением.
Задача 2. При движении A переходит в A′, а B — в B′. Известно, что AB = 6 см. Найдите A′B′.
Записываем соответствие точек: образ A — точка A′, образ B — точка B′.
Движение сохраняет расстояние между любой парой точек. Поэтому AB = A′B′.
Подставляем известную длину: A′B′ = AB = 6 см.
Ответ: A′B′ = 6 см.
Задача 3. Движение переводит треугольник ABC в треугольник A′B′C′. Докажите, что соответствующие стороны и периметры треугольников равны.
Записываем соответствия вершин: A переходит в A′, B — в B′, C — в C′.
Применяем сохранение расстояния к каждой паре вершин: AB = A′B′, BC = B′C′ и CA = C′A′.
Периметр — сумма длин сторон. Складываем равенства: AB + BC + CA = A′B′ + B′C′ + C′A′.
Полученные суммы и есть периметры треугольников, следовательно, они равны.
Ответ: соответствующие стороны равны, а периметры треугольников одинаковы.
Считать, что геометрическое движение обязательно означает перемещение фигуры по прямой, — неверно. Так думают из-за бытового смысла слова «движение», но в геометрии речь идёт о соответствии точек. Проверьте себя: спросите, сохраняются ли расстояния между любыми точками, а не только куда переместилась фигура.
Проверять сохранение только одной стороны недостаточно: движение должно сохранять расстояние между любой парой точек. Одна удачная проверка не подтверждает выполнение определения для остальных точек. Чтобы проверить рассуждение, убедитесь, что свойство применяется ко всем нужным парам.
Одинаковая площадь ещё не означает равенства фигур. У фигур могут совпадать площади, но отличаться форма, поэтому их нельзя совместить наложением. Для самопроверки задайте вопрос: совпадут ли все соответствующие точки при наложении?
Если перепутать соответствующие вершины, можно сравнить не те отрезки и получить неверный вывод. Такая ошибка возникает, когда не записывают, куда переходит каждая точка. Перед вычислением выпишите пары соответствий и сравнивайте только расстояния между соответствующими точками.
Для этой темы нужно уметь находить расстояние между точками и понимать обозначение отрезка AB. Понятие равных фигур помогает объяснять, почему две фигуры можно считать одинаковыми, а движение даёт способ доказать такое равенство через сохранение расстояний. Позже та же идея пригодится при изучении симметрий, поворота и других геометрических преобразований: фигуры меняют положение, но расстояния между их точками остаются прежними.
Чем геометрическое движение отличается от обычного перемещения?
В обычной речи движением называют перемещение предмета, например по прямой. В геометрии движение — это соответствие между точками плоскости, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками.
Обязательно ли при движении сохраняется положение фигуры на плоскости?
Нет. Фигура может изменить место или направление, но её форма и размеры останутся прежними. Геометрическое движение описывает соответствие точек, а не сохранение их прежнего положения.
Почему при движении сохраняются размеры фигуры?
Потому что расстояние между каждой парой точек при движении не меняется. Значит, не меняются длины отрезков, образованных точками фигуры, а вместе с ними сохраняются её размеры.
Как понять, что две фигуры равны?
Две фигуры равны, если одну можно совместить с другой наложением так, чтобы соответствующие точки совпали. При таком совмещении сохраняются расстояния между соответствующими точками.
Достаточно ли совпадения длин соответствующих сторон, чтобы утверждать, что фигуры равны?
Не всегда: одинаковые длины соответствующих сторон сами по себе не гарантируют, что фигуры можно совместить. Нужно установить соответствие точек и доказать, что фигуры совпадают при наложении либо что между ними есть движение.
115. Наложения и движения
