"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Движение плоскости — это такое соответствие точек, при котором расстояние между любой парой точек не меняется. Каждой точке соответствует её образ, а из образов точек фигуры складывается образ всей фигуры. Поэтому при движении можно изменить положение фигуры, но нельзя растянуть, сжать или исказить её: сохраняются длины, углы, форма и размеры. Это понятие помогает описывать симметрию, перенос и поворот, а также доказывать равенство фигур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение плоскости — соответствие между точками плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Иначе говоря, если точки A и B переходят в A₁ и B₁, то AB = A₁B₁. Это условие позволяет отличить движение от преобразования, при котором фигура растягивается или сжимается.
Соответствующие точки — точка и её образ при заданном движении. Например, если точка A переходит в A₁, то A и A₁ соответствуют друг другу. Каждой точке плоскости должна быть поставлена в соответствие определённая точка, иначе нельзя однозначно узнать, куда переходит каждая часть фигуры.
Образ фигуры — фигура, составленная из образов всех точек исходной фигуры. Если каждая точка отрезка переходит в свою точку, то из этих точек получается образ отрезка; так же определяют образы многоугольников и других фигур. Понятие образа помогает описывать результат движения целой фигуры, а не только отдельных точек.
Сохранение расстояния означает, что расстояние между образами двух точек равно расстоянию между исходными точками: если A переходит в A₁, а B — в B₁, то AB = A₁B₁. Требование относится к любой паре точек плоскости. Именно оно служит главным условием, по которому соответствие называют движением.
Движение задаёт правило, по которому каждой точке плоскости находится её образ. Одного указания, куда перешла одна точка, мало: необходимо знать соответствие для всех точек, чтобы определить образ всей фигуры. При этом точки могут занять новые места, но расстояния между ними должны остаться прежними. Поэтому движение описывает изменение положения, а не изменение размеров.
Почему проверяют все пары точек, а не только несколько? Несколько совпавших расстояний показывают лишь, что отдельные части не изменились, но ничего не говорят о точках, которые не проверяли. Например, можно сохранить длину одного отрезка, но переместить остальные точки так, что их взаимные расстояния изменятся. Для движения нужно, чтобы ни одна пара точек не стала ближе или дальше друг от друга.
Если A и B — концы отрезка, то расстояние AB равно длине отрезка. При движении образы концов находятся на таком же расстоянии, а образы промежуточных точек заполняют отрезок между ними, поэтому отрезок переходит в отрезок той же длины. Угол тоже сохраняется: его стороны задаются точками, расстояния между которыми не меняются, а значит, соответствующие треугольники можно считать равными. У равных треугольников соответствующие углы равны.
Пусть треугольник ABC перешёл в треугольник A₁B₁C₁. Сохранение расстояний даёт равенства AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и AC = A₁C₁. Значит, треугольники равны по трём сторонам; у них совпадают не только длины сторон, но и углы. Так объясняется, почему движение сохраняет форму и размеры фигуры.
Чтобы проверить, является ли заданное соответствие движением, сравнивают расстояния между соответствующими точками. Условие проверки имеет вид AB = A₁B₁ для любых точек A и B, перешедших соответственно в A₁ и B₁. Если дано лишь одно или несколько равенств, этого недостаточно для общего вывода. Нужна уверенность, что условие выполняется для всех пар точек плоскости.
| Объект или свойство | Что происходит при движении | Следствие |
|---|---|---|
| Расстояние между точками | Остаётся прежним для любой пары точек | Точки не сближаются и не удаляются друг от друга |
| Длина отрезка | Не меняется | Образ отрезка имеет ту же длину |
| Величина угла | Не меняется | Соответствующие углы равны |
| Форма и размеры фигуры | Сохраняются | Образ фигуры равен исходной фигуре |
| Площадь многоугольника | Не меняется | У исходного многоугольника и его образа равные площади |
В таблице каждое следствие связано с сохранением расстояний между точками. Пользуйся ею, чтобы быстро определить, какие свойства фигуры можно сравнивать до и после движения. Если меняется положение фигуры, это не означает, что изменились её длины или углы.
При некотором соответствии точки A и B переходят в точки A₁ и B₁. Известно, что AB = 5 см, а A₁B₁ = 5 см. Достаточно ли этого, чтобы заключить, что соответствие является движением?
Сравним данные: расстояние между A и B совпадает с расстоянием между их образами. Это подтверждает сохранение расстояния только для одной пары точек.
По определению движение должно сохранять расстояния между любыми двумя точками плоскости. Из условия неизвестно, что происходит с расстояниями для всех остальных пар.
Поэтому одного равенства AB = A₁B₁ недостаточно, чтобы доказать, что соответствие является движением. Для вывода требуется проверить общее условие.
Ответ: нет, данных недостаточно.
При движении треугольник ABC переходит в треугольник A₁B₁C₁. Известно, что AB = 4 см, BC = 6 см, AC = 5 см. Найдём стороны образа, сопоставляя каждой стороне её образ.
Вершины A и B переходят в A₁ и B₁. Движение сохраняет расстояние между ними, значит, A₁B₁ = AB = 4 см.
Вершины B и C переходят в B₁ и C₁. Поэтому B₁C₁ = BC = 6 см.
Вершины A и C переходят в A₁ и C₁. Следовательно, A₁C₁ = AC = 5 см. Здесь не нужно заново строить образ: достаточно применить сохранение расстояния к каждой паре вершин.
Ответ: A₁B₁ = 4 см, B₁C₁ = 6 см, A₁C₁ = 5 см.
Точки A, B, C переходят при движении в точки A₁, B₁, C₁. Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны. Чтобы выбрать признак равенства, сначала сравним соответствующие стороны.
Пара точек A и B переходит в пару A₁ и B₁, поэтому AB = A₁B₁. Это следует непосредственно из определения движения.
Так же для пар B, C и A, C получаем BC = B₁C₁ и AC = A₁C₁. Значит, равны все три пары соответствующих сторон.
По признаку равенства треугольников по трём сторонам треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны. Их соответствующие углы также равны.
Ответ: треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.
Ошибка: считать соответствие движением, если сохранилось одно или несколько расстояний. Так думают, потому что проверенные отрезки действительно не изменились, но остальные пары точек могли измениться. Проверь себя: в определении есть слово «любые» — одного совпадения недостаточно.
Ошибка: считать, что при движении фигура обязательно остаётся на месте. Возможно, слово «движение» воспринимается только как перемещение предмета по комнате, но в геометрии положение фигуры может измениться. Проверь себя: сравни форму и размеры до и после, а не положение на листе.
Ошибка: ожидать, что при движении сохраняются координаты точек. Координаты описывают положение относительно выбранных осей, поэтому после поворота или переноса они могут стать другими. Проверь себя: для движения сравни расстояния между точками, а не их координаты.
Ошибка: называть образ фигуры равным исходной без объяснения. Само название «образ» ещё не доказывает равенство: нужно установить соответствие точек и показать сохранение расстояний. Проверь себя: для треугольника укажи равенство трёх пар соответствующих сторон, а затем примени признак равенства.
Для изучения движения пригодятся расстояние между точками, понятия отрезка и угла, а также признаки равенства треугольников. Эти знания позволяют понять, почему при движении сохраняются длины и углы. Дальше понятие движения помогает разбирать осевую и центральную симметрию, параллельный перенос и поворот. Это разные способы изменить положение фигуры, не изменяя её форму и размеры.
Как понять, что соответствие точек является движением?
Нужно проверить, что каждой точке плоскости поставлена в соответствие определённая точка и что расстояние сохраняется для любой пары точек. Если хотя бы для одной пары расстояние изменилось, это соответствие не является движением.
Обязательно ли при движении фигура остаётся на месте?
Нет. Фигура может переместиться или повернуться, поэтому её точки получат другие положения на плоскости. Не меняются расстояния между точками, а значит, сохраняются форма и размеры.
Достаточно ли проверить сохранение расстояния между одной парой точек?
Нет, одного совпавшего расстояния недостаточно. По определению движения расстояния должны сохраняться между любыми двумя точками плоскости.
Какие свойства фигур сохраняются при движении?
Сохраняются длины отрезков и величины углов, поэтому не меняются форма и размеры фигур. У многоугольников также сохраняется площадь.
Почему образ треугольника при движении равен исходному треугольнику?
Расстояния между каждой парой вершин не меняются, поэтому равны все три пары соответствующих сторон. По трём сторонам треугольники равны, а значит, совпадают и их соответствующие углы.
114. Понятие движения
