113. Отображение плоскости на себя

Определения и обозначения

Отображение плоскости на себя — правило, по которому каждой точке плоскости сопоставляется ровно одна точка этой же плоскости. Например, правило может переводить точку A в точку A′. Оно нужно, чтобы точно описывать, куда переходят точки при преобразовании.

Образ точки — точка, поставленная в соответствие исходной точке при отображении. Если точка A переходит в точку A′, то A′ называют образом точки A и записывают: A → A′. Такое обозначение помогает различать точку до преобразования и точку после него.

Образ фигуры — множество образов всех точек этой фигуры. Например, при отображении треугольника рассматривают, куда перешла каждая его точка, а не только вершины. Полученное множество само может быть другой геометрической фигурой.

Взаимно однозначное отображение — отображение, при котором разные точки имеют разные образы и каждая точка плоскости является чьим-либо образом. Поэтому у каждой точки есть ровно один прообраз — точка, которая перешла в неё. Это понятие позволяет восстановить исходное положение точки по её образу.

Как это устроено

Чтобы задать отображение, одного указания нескольких пар точек недостаточно: правило должно работать для каждой точки плоскости. Кроме того, каждой точке нужно назначить только один результат. Если для одной точки правило допускает два разных образа или не задаёт образ вовсе, это не отображение плоскости на себя. Проверка этих условий помогает понять, можно ли вообще применять правило к любой точке.

При отображении плоскости на себя исходная и полученная точки принадлежат одной и той же плоскости. Это отличает такое отображение от соответствия между точками двух разных плоскостей, где начало и конец соответствия находятся в разных местах. Различие важно, потому что в теме изучают преобразования одной плоскости, а не перенос точек из одной плоскости в другую. Например, можно сравнивать фигуру и её образ в рамках одной плоскости.

Чтобы найти образ фигуры, мысленно применяют правило к каждой её точке. Затем все полученные точки рассматривают как одно множество: именно оно и образует новую фигуру. Если известны образы вершин треугольника, их можно отметить, но для полного описания образа нужно учитывать также точки сторон и внутренней области. Иначе часть образа может остаться незамеченной.

У взаимно однозначного отображения каждая точка плоскости является образом какой-либо точки, поэтому прообраз существует. При этом разные точки не могут перейти в одну и ту же: значит, для заданной точки не найдутся два прообраза. Вместе эти условия обеспечивают ровно один прообраз у каждой точки. Благодаря этому отображение можно обратить, то есть двигаться от образа к исходной точке.

Чтобы восстановить исходную точку, ищут ту точку, образ которой совпадает с заданной. При взаимно однозначном отображении поиск не оставляет сомнений: подходящая точка существует и она только одна. Если отображение не взаимно однозначно, у точки может не оказаться прообраза или таких точек может быть несколько. Поэтому обратный поиск возможен как однозначная операция только при выполнении обоих условий.

Основные понятия об отображении плоскости на себя

Пользуйся таблицей как короткой проверкой: сначала определи, какие объекты связывает правило, затем проверь условие из последнего столбца. Для взаимной однозначности нужны оба условия одновременно. Если одно из них не выполняется, отображение всё ещё может существовать, но взаимно однозначным оно не будет.

Разбор задач

Задача 1. Для заданного правила отображения точки A в точку A′ укажите образ точки A и объясните, почему правило задаёт отображение плоскости на себя. Предполагается, что правило описано для любой точки плоскости. Нужно проверить, что оно всегда даёт единственный результат, а не только назвать пару A и A′.

1. По условию точке A сопоставлена точка A′. Значит, образом точки A является A′, и это записывают как A → A′.
2. Проверяем правило для произвольной точки плоскости: оно должно назначать ей образ. Затем проверяем, что результат только один и тоже лежит в этой плоскости.
3. Если оба условия выполнены для каждой точки, правило задаёт отображение плоскости на себя. Если хотя бы одна точка не имеет образа или получает несколько образов, это не такое отображение.

Ответ: образ точки A — A′; правило задаёт отображение, если каждой точке плоскости назначена ровно одна точка той же плоскости.

Задача 2. Точки A, B и C фигуры имеют образы A′, B′ и C′. Опишите образ треугольника ABC. Важно не ограничиться перечислением вершин: треугольник содержит также все точки его сторон и внутренней области. Поэтому описание должно учитывать действие правила на каждую точку.

1. Записываем, что вершинам A, B и C соответствуют A′, B′ и C′. Эти точки являются образами вершин, но пока не описывают образ полностью.
2. Применяем отображение ко всем точкам треугольника ABC. Образ включает полученные точки, в том числе образы точек его сторон и внутренней части.
3. Рассматриваем полученное множество целиком. Если оно образует треугольник, его вершины — A′, B′ и C′, а сам образ обозначают как треугольник A′B′C′.

Ответ: образ треугольника ABC — множество образов всех его точек; если оно является треугольником, это треугольник A′B′C′.

Задача 3. Разные точки при отображении переходят в разные точки, и каждая точка плоскости является чьим-либо образом. Объясните, как найти прообраз точки P′ и почему он единственный. Здесь важно использовать оба свойства, а не только одно из них.

1. Ищем точку, которая при отображении переходит в P′. По условию каждая точка плоскости является чьим-либо образом, поэтому такой прообраз существует.
2. Предположим, что у P′ есть два разных прообраза. Тогда две разные точки перешли бы в одну точку P′, что противоречит условию о разных образах.
3. Следовательно, подходящий прообраз есть и он только один. Найти его можно, проследив правило в обратном направлении от P′ к исходной точке.

Ответ: прообраз P′ — единственная точка, которая переходит в P′; существование обеспечивает первое условие, а единственность — второе.

Типичные ошибки

Ошибка — допускать, что у точки может не быть образа или их может быть несколько. Так бывает, когда правило воспринимают как неполное описание или путают его с произвольным соответствием. Проверяй определение: образ должен быть у каждой точки и ровно один. Если правило не даёт единственного результата хотя бы для одной точки, оно не задаёт отображение плоскости на себя.

Образ и прообраз иногда меняют местами. Это происходит потому, что оба понятия относятся к одной паре точек, но показывают её с разных сторон. Образ получают, применяя правило к исходной точке, а прообраз ищут по заданному образу. Чтобы проверить себя, прочитай стрелку A → A′ словами: A′ — образ A, а A — прообраз A′.

Ещё одна ошибка — считать образом фигуры только образы её вершин. Вершины заметнее других точек, поэтому легко забыть о сторонах и внутренней области. Однако фигура состоит из всех своих точек, и образ тоже собирают из образов всех этих точек. Проверка проста: спроси себя, учтены ли точки между вершинами и внутри треугольника.

Нельзя считать любое отображение плоскости на себя взаимно однозначным. Для взаимной однозначности недостаточно того, что каждой точке назначен ровно один образ: разные точки могут перейти в одну, а некоторые точки — вообще не оказаться образами. Проверяй два условия отдельно: разные точки имеют разные образы, и у каждой точки плоскости есть прообраз. Только тогда прообраз каждой точки существует и единственен.

Связь с другими темами

Для изучения отображений нужно знать, что такое точка, плоскость и геометрическая фигура, а также понимать смысл соответствия между объектами. Эти понятия помогают читать запись A → A′ и определять, какие точки сравниваются. Дальше отображения становятся основой для изучения движений плоскости и преобразований фигур. При их рассмотрении выясняют, как меняются точки и какой вид приобретает фигура после преобразования.

Что запомнить

• Отображение сопоставляет каждой точке плоскости ровно одну точку этой плоскости.
• Точка, поставленная в соответствие исходной точке, называется её образом.
• Образ фигуры включает образы всех её точек.
• У разных исходных точек могут совпадать образы, если отображение не является взаимно однозначным.
• При взаимно однозначном отображении каждой точке соответствует единственный прообраз.
• Чтобы установить взаимно однозначность, проверяют и различие образов разных точек, и наличие прообраза у каждой точки.