"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Преобразование плоскости связывает каждую точку с другой точкой — её образом, поэтому фигура при преобразовании может перейти в новую фигуру. Особый вид преобразования — движение: оно сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Благодаря этому при движении не меняются длины и размеры фигур, хотя их положение может измениться. Понятие движения помогает определять равенство фигур и изучать симметрии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование плоскости — правило, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие точку той же плоскости. При таком правиле исходные точки фигуры переходят в новые точки, и из них складывается другая фигура. Это понятие нужно, чтобы описывать, как меняется фигура или её положение. Например, можно задать правило, по которому каждой точке соответствует точка на одинаковом расстоянии вправо.
Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при преобразовании. Если точка A переходит в точку A₁, то A называют исходной точкой, а A₁ — её образом. Нижний индекс помогает не перепутать точку до преобразования с точкой после него. Это обозначение понадобится, когда мы будем сравнивать расстояния между исходными точками и их образами.
Движение — преобразование плоскости, при котором сохраняется расстояние между любыми двумя точками. Если A и B переходят в A₁ и B₁, то при движении AB = A₁B₁. Именно слова «любые две» отличают движение от преобразования, которое случайно сохраняет расстояние лишь для некоторых точек. Определение позволяет проверить, меняются ли размеры фигуры.
Равные фигуры — фигуры, одна из которых получается из другой движением. Значит, фигуры могут располагаться по-разному, но сохранять форму и размеры. Такое определение связывает привычную идею совмещения фигур с точным правилом преобразования. Оно нужно, чтобы доказывать равенство фигур, не требуя, чтобы они уже лежали на плоскости одинаково.
Преобразование задаёт соответствие между точками: каждой исходной точке назначается её образ. Если рассматривать не одну точку, а целую фигуру, то образы всех её точек и образуют полученную фигуру. Поэтому сначала удобно понять, куда переходит каждая точка, а уже затем говорить об изменении всей фигуры. Например, вершины треугольника переходят в новые точки, которые задают образ треугольника.
Чтобы решить, является ли преобразование движением, сравнивают расстояния между точками до и после преобразования. Для пары A и B нужно узнать, равно ли AB расстоянию между образами A₁ и B₁, а затем иметь основание утверждать то же для любой другой пары. Это следует из определения: движение не может изменить расстояние ни у одной пары точек. Проверка только нескольких удобных пар может подсказать ответ, но сама по себе не доказывает общее свойство.
При движении не меняются длины отрезков: концы отрезка переходят в свои образы, а расстояние между ними сохраняется. Например, если AB = 7 см, то образ отрезка, соединяющий A₁ и B₁, тоже имеет длину 7 см. Размеры других фигур также не меняются, потому что их точки и расстояния между ними переходят без изменения. При этом фигура может повернуться или переместиться, то есть оказаться в другом месте плоскости.
Сохранение расстояний позволяет связать движение с равенством фигур. Если фигура переходит при движении в другую, соответствующие точки оказываются на тех же расстояниях друг от друга, поэтому размеры фигуры не меняются. По определению такую полученную фигуру называют равной исходной. Иначе говоря, движение сохраняет равенство фигур и даёт способ обосновать его.
Равенство фигур можно понимать через возможность совместить их движением. Не обязательно, чтобы фигуры уже совпадали на чертеже: одна может быть сдвинута, повёрнута или расположена иначе. Нужно установить, что существует движение, переводящее одну фигуру в другую. Это позволяет отличить равенство фигур от простого совпадения их положения.
| Понятие | Что происходит с точками | Что сохраняется | Связь с фигурами |
|---|---|---|---|
| Преобразование плоскости | Каждой точке соответствует точка той же плоскости. | Не обязательно сохраняются расстояния. | Точки фигуры переходят в точки полученной фигуры. |
| Образ точки | Это точка, в которую переходит исходная точка, например A → A₁. | Само понятие не задаёт сохраняемое свойство. | Образы точек составляют образ фигуры. |
| Движение | Каждая точка переходит в свой образ. | Расстояния между любыми двумя точками. | Размеры фигуры не меняются. |
| Равные фигуры | Одну фигуру можно перевести в другую движением. | При таком переходе сохраняются расстояния. | Фигуры могут занимать разное положение. |
Сначала по таблице определите, о чём говорится: о любом преобразовании или о преобразовании с особым свойством. Затем проследите, что происходит с точками и расстояниями. Последний столбец помогает перейти от отдельных точек к целой фигуре.
Задача 1. При преобразовании точки A и B переходят в точки A₁ и B₁. Известно, что AB = 5 см, а A₁B₁ = 5 см. Можно ли по этим данным утверждать, что преобразование является движением?
Запишем, что именно известно: расстояние между A и B равно расстоянию между их образами A₁ и B₁. Значит, для этой пары расстояние сохранилось. Но определение движения относится не к одной паре, а к любым двум точкам плоскости.
Проверим, есть ли данные о других парах точек. Таких сведений нет, поэтому мы не можем заключить, что их расстояния тоже сохраняются. Совпадение одного расстояния может произойти и у преобразования, которое меняет другие расстояния.
Ответ: нет, по этим данным нельзя утверждать, что преобразование является движением.
Задача 2. Преобразование сохраняет расстояния между любыми парами точек. Отрезок AB имеет длину 7 см. Найдём длину образа отрезка A₁B₁.
Сначала определим исходные точки и их образы: концам отрезка AB соответствуют точки A₁ и B₁. Поэтому образом отрезка AB является отрезок A₁B₁. Такое сопоставление важно, чтобы сравнивать именно исходное расстояние и расстояние между образами.
По условию преобразование сохраняет расстояния для любых пар точек, значит, это движение. Применим его свойство к точкам A и B: A₁B₁ = AB. Подставим известную длину AB = 7 см.
Ответ: A₁B₁ = 7 см.
Задача 3. Фигура F переходит при движении в фигуру F₁. Докажем, что F и F₁ равны.
По условию существует движение, переводящее каждую точку фигуры F в соответствующую точку фигуры F₁. Движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками. Следовательно, при переходе не меняются длины отрезков, заданных точками фигуры.
По определению равными называются фигуры, одна из которых получается из другой движением. Условие задачи как раз сообщает, что F переходит в F₁ таким преобразованием. Значит, можно применить определение напрямую, а сохранение расстояний объясняет, почему размеры фигуры не меняются.
Ответ: F и F₁ равны, так как одна получается из другой движением.
Первая ошибка — назвать преобразование движением, потому что одна пара точек сохранила расстояние. Так рассуждают, принимая частную проверку за общее правило. Но определение требует сохранить расстояния для любых двух точек. Проверьте себя: в условии должно быть подтверждено общее свойство, а не приведён только один пример.
Вторая ошибка — перепутать исходную точку и её образ, например сравнивать расстояния, не уточнив, какие точки рассматриваются. Это легко допустить, если пропустить нижний индекс у обозначения образа. Запишите пары соответствий отдельно: A → A₁ и B → B₁. Тогда нужное сравнение будет выглядеть как AB и A₁B₁.
Третья ошибка — считать, что при движении фигура обязана остаться на прежнем месте. Такое представление возникает из-за слова «движение» в обычной речи, но геометрическое определение говорит о сохранении расстояний. Фигура может сменить положение, сохранив размеры. Проверьте себя вопросом: изменились ли расстояния между её точками, а не только место на плоскости?
Четвёртая ошибка — считать равными только фигуры, уже совпадающие на чертеже. Их могут изобразить в разных местах или повернуть, поэтому визуального совпадения может не быть. Равенство означает, что одну фигуру можно перевести в другую движением. Чтобы проверить себя, спросите, возможно ли такое совмещение, а не совпадают ли фигуры сейчас.
Для изучения движения нужны понятия точки, отрезка и расстояния между точками: без них нельзя сформулировать, что именно сохраняется. Также пригодится понятие равных фигур, теперь оно получает точное объяснение через движение. Далее это понятие поможет разбирать симметрии и другие преобразования плоскости. Оно также используется при доказательстве равенства геометрических фигур: достаточно показать, что одну можно получить из другой движением.
Что называют преобразованием плоскости?
Это правило, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие точку той же плоскости. В результате точки фигуры переходят в свои образы, и получается другая фигура.
Чем образ точки отличается от самой точки?
Исходная точка — та, к которой применяют преобразование, а образ — точка, в которую она переходит. Например, A — исходная точка, а A₁ — её образ.
Как проверить, что преобразование является движением?
Нужно проверить, сохраняются ли расстояния между любыми двумя точками. Если для любых точек A и B расстояние AB равно расстоянию между их образами, преобразование является движением.
Почему сохранения одного расстояния недостаточно, чтобы доказать, что преобразование — движение?
Определение требует сохранения расстояний для любых пар точек, а не только для одной выбранной пары. Равенство AB и A₁B₁ проверяет лишь один случай.
Что значит, что две фигуры равны?
Две фигуры равны, если одну можно получить из другой движением. Они могут находиться в разных местах или быть повёрнуты, но при движении сохраняются расстояния и размеры.
§ 1. Понятие движения
