112. Площадь кругового сектора

Определения и обозначения

Круговой сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Если представить круглый пирог, сектор похож на один его кусок. Это понятие помогает описывать фигуры, которые занимают не весь круг, и находить площадь выбранной части.

Центральный угол сектора — угол с вершиной в центре круга, стороны которого проходят по радиусам и ограничивают сектор. Обычно его обозначают α, а радиус круга — R. Угол показывает, какую часть полного оборота занимает сектор, поэтому именно через него можно сравнить площадь сектора с площадью всего круга.

Площадь сектора — площадь части круга, ограниченной его радиусами и дугой. Её обозначают S и выражают в квадратных единицах, например см². Для угла α, измеренного в градусах, используют формулу S = πR² · α / 360°: она связывает площадь сектора с площадью целого круга.

Как это устроено

Площадь сектора зависит от того, какую долю круга он занимает. Полный круг соответствует полному обороту, то есть 360°, а его площадь равна πR². Поэтому, если центральный угол сектора составляет, например, четверть от 360°, то и сектор составляет четверть площади круга. Так появляется отношение α / 360°.

Чтобы получить площадь сектора, сначала находят площадь всего круга, а затем умножают её на долю, заданную углом. Иначе говоря, S = πR² · α / 360°. Деление на 360° нужно потому, что оно превращает величину угла в долю полного круга. Если угол указан в градусах, его нельзя подставлять в эту формулу без деления на 360°.

Например, при угле 180° сектор занимает половину круга, поскольку 180° / 360° = ½. При 90° получается четверть круга, а при 360° — весь круг. Эти простые случаи помогают понять смысл формулы и проверить, не перепутана ли доля.

Радиус влияет на площадь иначе, чем угол: в формуле он возводится в квадрат. Если увеличить радиус в два раза, площадь круга и сектора при том же угле увеличится в четыре раза, а не в два. Поэтому до вычислений важно выяснить, что дано: радиус или диаметр. Диаметр состоит из двух радиусов, значит, R = d / 2.

У формулы есть и полезная проверка: площадь сектора должна быть не больше площади круга, если его угол не превышает 360°. При увеличении угла и неизменном радиусе площадь не уменьшается. Если расчёт нарушает эти правила, проверь перевод угла в долю и вычисление радиуса.

Как угол связан с площадью сектора

Сначала найди в таблице долю круга, соответствующую углу, а затем умножь эту долю на πR². Для любого другого угла долю можно вычислить как α / 360°. Таблица также помогает проверить ответ: чем больше угол, тем большую часть площади круга занимает сектор.

Разбор задач

Задача. Радиус круга равен 6 см, а центральный угол сектора — 120°. Найди площадь сектора. Здесь радиус уже известен, поэтому сначала можно найти площадь целого круга, а затем определить, какую её часть занимает сектор. Угол 120° меньше 360° в три раза.

1. Запишем формулу: S = πR² · α / 360°. Она подходит, потому что угол задан в градусах, а площадь сектора является долей площади круга.

2. Подставим данные: S = π · 6² · 120° / 360°. Квадрат радиуса равен 36, а отношение 120° / 360° сокращается до ⅓.

3. Вычислим: S = 36π · ⅓ = 12π см². Если нужно приближённое значение, возьмём π ≈ 3,14: S ≈ 12 · 3,14 = 37,68 см².

4. Проверим результат. Поскольку угол 120° составляет треть полного угла, площадь сектора должна быть третью от площади круга 36π см²; полученные 12π см² этому условию соответствуют.

Ответ: 12π см², или приблизительно 37,68 см². Точный ответ с π удобен, если в условии не требуют десятичное приближение. В каждом подобном примере полезно сначала найти долю круга, а уже потом выполнять умножение.

Типичные ошибки

• Подставляют диаметр вместо радиуса. Это случается, потому что оба числа описывают размер круга, но формула содержит именно R². Перед вычислением проверь условие: если дан диаметр d, раздели его на два и только потом возводи радиус в квадрат.

• Забывают разделить угол на 360°. Тогда к площади круга применяют не долю сектора, а само число градусов. Проверь себя: для 90° должна получиться четверть площади круга, а для 180° — половина.

• Возводят в квадрат не радиус или не весь радиус. В формуле стоит R², то есть R · R, а не 2R и не квадрат всего произведения с углом. Сначала отдельно вычисли R², затем умножай на π и долю α / 360°.

• Записывают обычные единицы площади. Поскольку площадь измеряет покрываемую поверхность, ответ должен быть в квадратных единицах: см², м² и так далее. После вычисления посмотри на единицу измерения в условии и укажи её квадрат.

Связь с другими темами

Чтобы находить площадь сектора, нужно знать формулу площади круга S = πR² и понимать, что такое радиус и диаметр. Отношение α / 360° связывает центральный угол с долей целого, как дробь связывает часть с целым. В задаче с данными в разных единицах также пригодятся перевод единиц длины и правила возведения числа в квадрат.

Что запомнить

• Круговой сектор ограничен двумя радиусами и дугой.

• Площадь сектора: S = πR² · α / 360°, где угол α дан в градусах.

• Если дан диаметр d, сначала найди радиус: R = d / 2.

• При α = 360° сектор становится всем кругом; при меньшем угле его площадь — соответствующая доля площади круга.

• Площадь записывают в квадратных единицах.