§ 39. Частные виды движений пространства

Определения и обозначения

Движение пространства — взаимно однозначное преобразование пространства, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками. Значит, разные точки не сливаются, а длины всех отрезков остаются прежними. Поэтому образ фигуры при движении равен исходной фигуре: размеры и форма сохраняются, хотя положение может измениться.

Параллельный перенос — преобразование, при котором каждая точка смещается на один и тот же вектор. Этот вектор задаёт перенос: он указывает направление и длину смещения. Такое описание позволяет построить образ любой точки и всей фигуры.

Симметрия относительно плоскости — преобразование, при котором плоскость является серединной плоскостью отрезка, соединяющего точку с её образом. Точки самой плоскости остаются на месте. Плоскость задаёт отражение и помогает находить образ даже у сложных тел.

Поворот вокруг прямой — преобразование, при котором прямая остаётся неподвижной, а остальные точки вращаются вокруг неё на один и тот же угол. Прямую называют осью поворота. Чтобы задать преобразование, указывают ось и угол; тогда для каждой точки определён её образ.

Как это устроено

При параллельном переносе к радиус-вектору каждой точки прибавляют один и тот же вектор. Для точек A и B разность радиус-векторов после переноса равна (rB + v) − (rA + v) = rB − rA: вектор v сокращается. Длина этой разности и есть расстояние между точками. Значит, любой отрезок сохраняет длину, а вместе с ним сохраняются углы и форма фигуры.

Чтобы отразить точку A относительно плоскости α, опускают из неё перпендикуляр на α. Пусть он пересекает плоскость в точке H. На продолжении AH по другую сторону плоскости отмечают точку A′ так, чтобы HA′ = HA: тогда H — середина AA′, а AA′ перпендикулярен α. Если A лежит в α, её образом будет сама A.

Сохранение расстояний при отражении видно из разложения отрезка AB на составляющие. Одну составляющую можно считать параллельной плоскости, другую — перпендикулярной ей; при отражении первая не меняется, а направление второй меняется на противоположное. Длины составляющих остаются прежними, поэтому по теореме Пифагора длина AB сохраняется. Это рассуждение работает для любых двух точек, в том числе расположенных по разные стороны плоскости.

Для поворота точки A вокруг прямой l сначала находят её проекцию H на l. Точки A, H и A′ лежат в плоскости, перпендикулярной l и проходящей через H; в этой плоскости A′ получают поворотом A на заданный угол вокруг H. Расстояние HA не меняется, поэтому A′ находится на окружности с центром H и радиусом HA. Если A лежит на оси, её проекция совпадает с ней, и точка не перемещается.

Неподвижные элементы помогают различать движения. При ненулевом переносе у каждой точки появляется смещение на ненулевой вектор, поэтому неподвижных точек нет. У отражения неподвижна вся плоскость симметрии, а у поворота — вся ось. Не следует смешивать неподвижный элемент преобразования с траекторией точки: траектория точки вне оси поворота — окружность, а не ось.

Сравнение частных видов движений пространства

В таблице удобно сначала найти, чем задано преобразование, а затем проверить, какой элемент остаётся неподвижным. При построении образа пользуйтесь соответствующей строкой: общий вектор, перпендикуляр к плоскости или поворот вокруг проекции на ось. Последняя строка показывает, что повторное применение подходящего обратного преобразования возвращает исходное положение.

Разбор задач

Задача 1. Точка A при параллельном переносе переходит в A′. Построить образ точки B и определить отрезок, соединяющий B с её образом. Известно, что перенос действует одинаково на всё пространство, поэтому направление AB использовать вместо вектора переноса нельзя. Нужно сначала восстановить сам вектор по паре A и A′, а затем применить его к B.

1. Проведём вектор AA′: это вектор переноса.
2. От точки B отложим равный и сонаправленный ему вектор BB′. Конец построенного вектора обозначим B′.
3. Получим BB′ = AA′, поэтому BB′ и есть отрезок, соединяющий точку с образом. При ненулевом переносе его длина равна длине AA′, а направления этих отрезков совпадают.

Ответ: образ B — точка B′, для которой BB′ = AA′ как векторы. Проверка проста: если применить тот же перенос ещё раз, образ каждой точки снова сместится ровно на вектор AA′.

Задача 2. Даны плоскость α и точка A вне неё. Построить симметричную точку и обосновать равенство расстояний от обеих точек до плоскости. Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного на неё. Поэтому построение отражения сразу подсказывает, какие отрезки сравнивать.

1. Опустим из A перпендикуляр AH на α; H — основание перпендикуляра.
2. На продолжении AH за плоскость отложим HA′ = HA. Полученная точка A′ симметрична A относительно α, поскольку α перпендикулярна AA′ и проходит через его середину H.
3. Перпендикуляр от A′ к α — это A′H. Следовательно, расстояния равны: d(A, α) = AH = HA′ = d(A′, α).

Ответ: искомая точка A′ лежит на прямой AH по другую сторону α на таком же расстоянии от H, как A. Равенство расстояний следует из равенства отрезков HA и HA′.

Задача 3. Дан куб. Требуется описать поворот на 90° вокруг прямой, проходящей через центры двух противоположных граней, и определить образы вершин. Ось проходит через центры граней и перпендикулярна им. Без обозначения вершин нельзя однозначно назвать их образы, поэтому зададим координаты куба и проследим за вращением каждой вершины.

1. Пусть ребро куба равно a, а центры противоположных граней имеют координаты (a/2, a/2, 0) и (a/2, a/2, a). Ось задана уравнениями x = a/2, y = a/2.
2. Поворот на 90° вокруг оси сохраняет z, а в плоскости XY переводит смещение (u, v) от оси в (−v, u). Это правило следует применять к каждой вершине относительно проекции на ось.
3. Например, (0, 0, 0) переходит в (a, 0, 0), а (a, 0, 0) — в (a, a, 0). На верхней грани аналогично: (0, 0, a) переходит в (a, 0, a), а (a, 0, a) — в (a, a, a).
4. Вершины на гранях, расположенных по сторонам от оси, переходят в соответствующие вершины соседних боковых граней; две точки пересечения оси с верхней и нижней плоскостями остаются на оси. Так обход вершин в основании и верхней грани задаёт образы всех восьми вершин.

Ответ: куб поворачивается вокруг центральной оси на четверть оборота; например, (0, 0, 0) переходит в (a, 0, 0), а (a, 0, 0) — в (a, a, 0). Для остальных вершин действует то же правило (u, v) → (−v, u) относительно оси; точки самой оси неподвижны.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что точки при переносе движутся в разных направлениях. Так думают, когда представляют перенос как произвольное перемещение каждой точки; на деле один вектор задаёт направление и длину смещения для всего пространства. Проверьте себя: отрезки AA′ и BB′ должны быть равными и сонаправленными.

Ошибка: отражать точку относительно плоскости по произвольному отрезку. Отражение требует, чтобы плоскость была серединной плоскостью отрезка между точкой и образом; это условие легко упустить, если строить «на глаз». Проверьте, что соединяющий отрезок перпендикулярен плоскости и пересекает её в середине.

Ошибка: называть осью поворота окружность, по которой движется точка. Путают неподвижную прямую и траекторию, потому что при вращении видна круговая дуга. Ось — прямая, а окружность лежит в плоскости, перпендикулярной ей; её центр находится на оси.

Ошибка: полагать, что движение сохраняет положение фигуры. Движение может переместить или развернуть фигуру, а неизменными останутся расстояния между её точками и, значит, форма и размеры. Проверка: сравните соответствующие отрезки до и после преобразования, а не координаты точек или ориентацию тела.

Связь с другими темами

Для работы с движениями нужны расстояния между точками и плоскостями, перпендикуляр к плоскости, векторы и понятие равных фигур. Перпендикуляр задаёт построение отражения и положение точки относительно оси, а вектор полностью определяет перенос. Знание этих свойств пригодится при изучении симметрии тел и преобразований геометрических фигур. Оно также помогает доказывать равенство пространственных фигур: достаточно установить соответствие точек, сохраняющее расстояния.

Что запомнить

• Движение пространства сохраняет расстояния между любыми парами точек.
• При параллельном переносе все точки смещаются на один и тот же вектор.
• Плоскость симметрии перпендикулярна отрезку, соединяющему точку с её образом, и делит этот отрезок пополам.
• При симметрии относительно плоскости все точки плоскости остаются неподвижными.
• При повороте вокруг прямой точки оси остаются на месте.
• Точка вне оси поворота движется по окружности с центром на оси.
• Образ фигуры при движении равен исходной фигуре.