5.4. Поворот

Определения и обозначения

Поворот — преобразование плоскости, при котором каждой точке сопоставляется точка, полученная вращением вокруг заданного центра на заданный угол. Иными словами, все точки перемещаются по дугам окружностей с общим центром, но не обязательно на одинаковые расстояния. Поворот используют, когда нужно описать вращение фигуры или построить её новое положение. При этом фигура может изменить ориентацию, но её форма и размеры остаются прежними.

Центр поворота — неподвижная точка, относительно которой выполняется поворот. Обычно его обозначают буквой O, а остальные точки движутся вокруг него. Центр нужен, чтобы однозначно задать, вокруг какой точки происходит вращение. Например, поворот вокруг O и поворот вокруг другой точки обычно приводят к разному положению образа.

Угол поворота — угол, на который поворачивается каждая точка. Для полного задания преобразования указывают не только величину угла, но и направление: по часовой стрелке или против неё. Один и тот же угол, отложенный в противоположные стороны, приводит к разным образам. Поэтому при построении нельзя учитывать число градусов, забывая о направлении.

Образ точки — точка, полученная из исходной при преобразовании. Если точка A переходит в A′, это соответствие записывают A → A′, а отрезки от центра к ним обозначают OA и OA′. Такая запись помогает различать исходную точку и её новое положение. При повороте выполняется равенство OA = OA′, а угол между лучами OA и OA′ равен заданному углу с учётом направления.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A при повороте вокруг O, сначала проведите луч OA. Затем постройте из O новый луч так, чтобы направленный угол между лучами соответствовал заданному углу и направлению поворота. На новом луче отметьте точку A′ на расстоянии OA от центра. Так образ окажется и на нужном расстоянии, и в нужном направлении; достаточно проверить равенство OA = OA′ и величину угла.

Центр поворота остаётся на месте, потому что вращение задано именно относительно него: расстояние от O до самого O равно нулю и не меняется. Любая другая точка при повороте движется по окружности с центром O. Радиус этой окружности равен расстоянию от исходной точки до центра, поэтому расстояние от точки до O сохраняется. Это объясняет, почему точку-образ нужно отмечать на окружности, а не где угодно на новом луче.

Направление поворота определяет, с какой стороны от исходного луча строить новый. Например, поворот на 90° против часовой стрелки и на 90° по часовой стрелке дают разные положения точки, хотя величины углов одинаковы. Если угол задан без направления, преобразование может оказаться неоднозначным. Поэтому сначала выясняют, в какую сторону вращают точки, и только затем строят угол.

Поворот сохраняет расстояния между любыми двумя точками. Это происходит потому, что при вращении плоскости все точки перемещаются согласованно: расстояние между парой точек не растягивается и не сжимается. Значит, длина отрезка, соединяющего точки, равна длине отрезка между их образами. Сохранение расстояний также означает, что соответствующие углы имеют равные величины: поворот переносит стороны угла, не меняя их взаимного наклона.

Если поворачивается фигура, её образ состоит из образов всех её точек. Для многоугольника достаточно построить образы вершин, потому что стороны соединяют эти вершины; затем вершины соединяют в исходном порядке. Так, образ треугольника ABC — треугольник A′B′C′, где каждая вершина получена одним и тем же поворотом. Поскольку расстояния и углы сохраняются, новая фигура равна исходной: у неё те же форма и размеры, но может быть другое положение на плоскости.

Что сохраняется при повороте

Таблица помогает быстро проверить, какие свойства можно использовать при построении и решении задач. Если длина или угол в образе отличается от исходного, значит, поворот выполнен неверно. При этом положение фигуры меняется, хотя перечисленные характеристики остаются прежними.

Разбор задач

Задача 1. Постройте образ точки A при повороте вокруг точки O на заданный угол в указанном направлении. Считайте, что величина угла и направление отмечены в условии. Нужно найти точку A′, для которой луч OA′ образует с лучом OA этот угол. Кроме того, расстояние от O до A′ должно совпадать с OA.

1. Проведите луч OA и измерьте или перенесите длину OA циркулем. Это расстояние задаёт радиус окружности, на которой может лежать образ.
2. Из луча OA постройте луч, повернутый на заданный угол в требуемую сторону. Проверьте направление: новый луч должен оказаться именно с той стороны, которую указывает условие.
3. Циркулем отложите от O на новом луче длину OA и обозначьте полученную точку A′. Тем самым выполнено OA′ = OA.

Ответ: точка A′ на построенном луче, для которой OA′ = OA. Проверка состоит из двух условий: длина радиуса сохранена, а направленный угол соответствует условию. Если хотя бы одно условие не выполнено, образ построен неверно.

Задача 2. Постройте образ треугольника ABC при повороте вокруг точки O на 90° против часовой стрелки. Каждая вершина перемещается по одному и тому же правилу, но её расстояние до O может быть своим. После построения вершин нужно восстановить стороны треугольника.

1. Проведите лучи OA, OB и OC. Для каждого луча отдельно постройте новый луч, повернув его на 90° против часовой стрелки.
2. На повернутом луче OA отметьте A′ так, чтобы OA′ = OA; аналогично постройте B′ и C′, сохранив OB′ = OB и OC′ = OC. Не переносите одну длину на все лучи: радиусы у вершин могут различаться.
3. Соедините A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′ в том же порядке, что и исходные вершины. Полученный треугольник A′B′C′ является образом ABC.

Ответ: треугольник A′B′C′, построенный по образам трёх вершин. Каждая вершина повернута на 90° против часовой стрелки вокруг O, поэтому все стороны и углы образа равны соответствующим сторонам и углам исходного треугольника. Для проверки сравните расстояния от каждой вершины до O и убедитесь, что направление поворота соблюдено.

Задача 3. Точка A перешла при повороте вокруг O в точку A′; известны лучи OA и OA′. Найдите угол поворота и постройте образ отрезка AB. В условии величина угла определяется поворотом от первого луча ко второму с учётом направления. Точка B должна пройти поворот на тот же угол, что и A.

1. Сравните положения лучей OA и OA′ и определите направленный угол от OA к OA′. Укажите его величину и сторону отсчёта; одного обычного значения угла недостаточно, если не задано направление.
2. Проведите луч OB и постройте из O луч OB′, повернув OB на найденный угол в том же направлении. Так как преобразование одно для всех точек, для B нельзя выбирать другой угол или направление.
3. Отложите на луче OB′ расстояние OB′ = OB и отметьте точку B′. Соедините A′ и B′: полученный отрезок A′B′ — образ отрезка AB.

Ответ: угол поворота — направленный угол от луча OA к лучу OA′. Образ отрезка AB — отрезок A′B′, построенный с применением того же поворота к точке B. Его длина равна AB, поскольку поворот сохраняет расстояние между точками.

Типичные ошибки

Не сохраняют расстояние до центра. Иногда образ отмечают на новом луче наугад, хотя он обязан находиться на расстоянии OA от O. Так происходит, если помнить про угол, но забыть, что точка движется по окружности с центром O. Проверьте построение циркулем: должно выполняться OA = OA′.

Откладывают угол в противоположном направлении. Ученик может верно построить угол нужной величины, но не учесть слова «по» или «против часовой стрелки». В результате образ оказывается с другой стороны от исходного луча. Перед построением отметьте направление движения и после проверьте, что луч повернут именно в эту сторону.

Поворачивают только одну вершину фигуры. Если построить образ лишь для вершины A, получится образ точки, а не всей фигуры. Ошибку допускают, потому что угол поворота воспринимают как действие только над отмеченной точкой. Для многоугольника постройте образ каждой вершины, а затем соедините их в исходном порядке.

Путают центр поворота с положением фигуры. Центр задаётся преобразованием и остаётся неподвижным, а не выбирается по тому, где удобно мысленно «расположить» фигуру. Из-за этой путаницы расстояния измеряют не от того места и получают неверные образы. Перед построением обозначьте центр O и проверяйте каждое равенство расстояний именно от O.

Связь с другими темами

Для построения поворота нужно уметь строить углы и пользоваться транспортиром, а равные расстояния удобно откладывать циркулем. Поворот связан с симметриями: центральная симметрия является поворотом на 180°, а поворот на некоторые другие углы может переводить фигуру в себя. Эти знания пригодятся при изучении движений плоскости и равенства фигур. Они также помогают строить образы геометрических объектов и проверять, какие свойства сохраняются при преобразовании.

Что запомнить

• Поворот задаётся центром, углом и направлением.
• Центр поворота остаётся неподвижным.
• Расстояние от точки до центра при повороте не меняется.
• Поворот сохраняет расстояния между точками и величины углов.
• Образ фигуры строят по образам её точек.
• Фигура после поворота сохраняет форму и размеры.