"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Преобразование подобия изменяет размеры фигуры по единому правилу: расстояние между любой парой точек умножается на одно и то же положительное число k. Поэтому фигура может стать больше или меньше, но её форма и углы сохраняются. Коэффициент k помогает находить новые длины и периметры, а для площадей используется k². Преобразования подобия позволяют описывать масштабирование и решать задачи о подобных фигурах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование подобия — преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками умножается на одно и то же положительное число. Иными словами, все точки фигуры перемещаются согласованно, без растяжения в одном направлении сильнее, чем в другом. Это определение нужно, чтобы отличать подобие от произвольного изменения рисунка. При подобии фигура может изменить размер и положение, но не форму.
Коэффициент подобия — положительное число k, показывающее, во сколько раз изменяются расстояния при преобразовании. Для соответствующих точек A, B и A′, B′ запись имеет вид A′B′ = k·AB. По коэффициенту можно понять, увеличивается или уменьшается фигура: при k > 1 длины растут, а при 0 < k < 1 сокращаются. Он один и тот же для всех расстояний в данном преобразовании.
Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при преобразовании; исходную точку называют её прообразом. Например, если A переходит в A′, то A′ — образ точки A, а A — прообраз точки A′. Штрих в обозначении помогает различать соответствующие точки до и после преобразования. Это нужно, чтобы не перепутать исходные и изменённые длины в формулах.
Подобные фигуры — фигуры, полученные друг из друга преобразованием подобия. У них одинаковая форма: соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Размеры при этом могут различаться, поэтому равными фигурам быть не обязательно. Понятие помогает описывать масштабные изображения и находить неизвестные элементы по известным.
Пусть преобразование переводит точки A и B в точки A′ и B′. По определению расстояние между любой парой точек умножается на один и тот же коэффициент, поэтому A′B′ = k·AB; это верно и для любых других точек фигуры. Если бы для разных пар точек коэффициенты отличались, изменились бы пропорции частей фигуры, и преобразование не было бы подобием. Единство k и сохраняет общий масштаб всей фигуры.
Угол можно рассматривать через две стороны, исходящие из его вершины. При подобии все длины этих сторон умножаются на k, поэтому их отношение не меняется: множитель k сокращается. Также сохраняются отношения расстояний, определяющие форму треугольника, а значит, соответствующие углы остаются равными. Поэтому изменение размера не превращает, например, острый угол в тупой.
Прямая состоит из точек, расположенных в одном направлении, а при подобии сохраняются отношения расстояний между точками и их расположение на одной линии. Поэтому образ прямой тоже является прямой. Если две прямые параллельны, у них одно направление и нет общей точки; преобразование подобия не меняет это направление и не создаёт пересечения, так что образы прямых остаются параллельными. Это свойство полезно при работе с отрезками и фигурами на чертеже.
Каждый линейный размер, в том числе длина стороны, умножается на k. Периметр — сумма длин сторон, поэтому общий множитель выносится за скобки: новый периметр равен k, умноженному на исходный. Площадь зависит от двух измерений: если основание и высота умножены на k, произведение этих величин меняется в k² раз. По той же причине площади соответствующих фигур относятся как k², а не как k.
Если сначала выполнить одно преобразование, а затем другое, расстояние сначала умножится на первый коэффициент, а потом на второй. Поэтому общий коэффициент равен произведению коэффициентов: k₁·k₂. Например, после увеличения в 2 раза и уменьшения в 3 раза итоговый масштаб равен 2·⅓ = ⅔. Чтобы вернуться от образа к исходной фигуре, нужно отменить умножение на k, то есть умножить расстояния на 1/k; это коэффициент обратного преобразования.
| Свойство | Как изменяется при коэффициенте k | Что сохраняется |
|---|---|---|
| Расстояния между точками | Умножаются на k | Единое отношение соответствующих расстояний |
| Углы | Не изменяются | Величины соответствующих углов |
| Отношения соответствующих сторон | Не изменяются | Подобие фигур |
| Периметр | Умножается на k | Форма фигуры |
| Площадь | Умножается на k² | Взаимное расположение соответствующих элементов |
| Параллельность прямых | Сохраняется | Параллельность соответствующих прямых |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала выясните, какую величину требуется найти: длину, угол, периметр или площадь. Для длин и периметра применяйте множитель k, а для площади — k²; величины углов не пересчитывайте. Последний столбец подсказывает, какие отношения и свойства остаются прежними.
Задача 1. При преобразовании подобия с коэффициентом k = 3/2 отрезок AB длиной 8 см переходит в A′B′. Найдите его длину и длину исходного отрезка, если A′B′ = 15 см. В условии даны две разные длины образа, поэтому их нужно рассмотреть отдельно: при одном и том же k исходная длина определяется однозначно.
Ответ: образ отрезка длиной 8 см равен 12 см; если образ равен 15 см, исходный отрезок равен 10 см. Эти данные не описывают один и тот же отрезок: при k = 3/2 отрезку 8 см соответствует длина 12 см, а не 15 см.
Задача 2. Треугольник со сторонами 5 см, 7 см и 9 см преобразовали с коэффициентом 2; площадь исходного треугольника равна 12 см². Нужно найти стороны, периметр и площадь образа. Сначала применяем коэффициент к линейным величинам, а затем отдельно учитываем правило для площадей.
Ответ: стороны образа — 10 см, 14 см и 18 см; периметр — 42 см; площадь — 48 см². Проверка показывает, что периметр вырос в 2 раза, а площадь — в 4 раза, как и должно быть при k = 2.
Задача 3. Преобразование с коэффициентом 2 переводит треугольник ABC в A′B′C′, затем преобразование с коэффициентом 1/3 переводит его в A″B″C″. Найдите общий коэффициент и A″B″, если AB = 18 см; укажите, какие углы сохраняются. Здесь важно учитывать оба преобразования последовательно: второе действует уже на результат первого.
Ответ: общий коэффициент равен 2/3, длина A″B″ — 12 см; величины соответствующих углов треугольников ABC, A′B′C′ и A″B″C″ равны.
Путать коэффициент с отношением площадей. Коэффициент k относится к длинам, а площадь изменяется в k² раз. Ошибка возникает, когда правило для периметра автоматически переносят на площадь. Проверьте себя: если k = 3, сторона возрастает втрое, а площадь — в девять раз.
Умножать углы на k. При подобии меняются длины, но не величины углов. Такую ошибку допускают, распространяя масштаб на все числовые значения без учёта того, что измеряется. Проверка проста: углы соответствующих фигур должны быть равны, а не пропорциональны коэффициенту.
Назначать разным сторонам разные коэффициенты. У одного преобразования коэффициент един для всех расстояний, иначе пропорции и форма фигуры нарушились бы. Разные множители могут появиться, если сравнивают несоответствующие отрезки или допускают арифметическую ошибку. Проверьте каждую пару соответствующих сторон: отношение образа к прообразу должно быть одним и тем же.
Путать прямое и обратное преобразования. Если прямое преобразование умножает расстояния на k, обратное должно вернуть исходные длины и потому использует 1/k. Ошибка особенно вероятна, когда исходная и новая фигуры обозначены похожими символами. Подставьте длину в обе формулы: последовательное применение k и 1/k должно вернуть первоначальное значение.
Для этой темы нужны отношения и пропорции: без них трудно сравнивать соответствующие стороны. Подобие треугольников помогает распознавать фигуры с равными углами и пропорциональными сторонами, а свойства углов и параллельных прямых объясняют сохранение геометрических связей. Преобразования подобия применяются в задачах на масштаб, периметры и площади. Гомотетия — частный пример такого преобразования, а координатный метод позволяет описывать его формулами и строить изображения фигур.
Чем преобразование подобия отличается от обычного увеличения или уменьшения рисунка?
При преобразовании подобия все расстояния между точками меняются в одинаковое число раз, поэтому форма сохраняется. Если рисунок увеличивать неравномерно, например растягивать только по горизонтали, соответствующие углы и отношения длин могут измениться — это уже не преобразование подобия.
Почему площадь изменяется в k² раз, а не в k раз?
Площадь зависит от двух линейных размеров. Если оба размера умножить на k, то площадь увеличится в k · k = k² раз. Например, при увеличении всех длин в 3 раза площадь становится в 9 раз больше.
Могут ли при преобразовании подобия измениться углы?
Нет, величины углов сохраняются. Меняться могут длины сторон и положение фигуры, но её форма остаётся прежней.
Как найти коэффициент подобия по двум соответствующим отрезкам?
Нужно разделить длину отрезка-образа на длину соответствующего исходного отрезка: k = A′B′ / AB. Коэффициент положителен; если k больше 1, расстояния увеличиваются, а если 0 < k < 1 — уменьшаются.
Как изменится коэффициент, если преобразование выполнить в обратную сторону?
Коэффициент обратного преобразования равен 1/k. Например, преобразованию с коэффициентом 3 соответствует обратное преобразование с коэффициентом 1/3.
5.5. Преобразования подобия
