§ 15. Элементы стереометрии

Определения и обозначения

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. К таким фигурам относятся точки, прямые, плоскости и объёмные тела. Это понятие нужно, чтобы описывать объекты не только на плоском листе, но и вокруг нас.

Плоскость — бесконечная плоская поверхность, которая продолжается во все стороны. Её можно задать тремя точками, если они не лежат на одной прямой; обозначают такую плоскость, например, буквами A, B, C. На чертеже плоскость часто отмечают греческой буквой α, чтобы удобнее было указывать, какие точки и прямые ей принадлежат.

Аксиома стереометрии — исходное утверждение о пространственных фигурах, которое принимают без доказательства. Аксиомы служат опорой для рассуждений: с их помощью доказывают новые свойства и решают задачи, не проверяя каждый раз всё на рисунке.

Пересечение плоскостей — их общая часть, если две различные плоскости имеют общие точки. Такая общая часть является прямой. Понятие помогает точно описывать, как плоскости расположены друг относительно друга.

Как это устроено

Планиметрия изучает фигуры на одной плоскости: например, свойства треугольников и кругов. Стереометрия рассматривает фигуры в пространстве, где они могут находиться на разных плоскостях. Разделение нужно потому, что в пространстве появляются новые варианты расположения, которые невозможно описать только плоскими чертежами.

Три точки, не лежащие на одной прямой, задают единственную плоскость: через две точки проходит прямая, а третья точка вне этой прямой определяет, как именно расположить плоскость. Если все три точки оказались бы на одной прямой, вокруг неё можно было бы повернуть множество плоскостей, и ни одна не была бы выбрана единственным образом. Поэтому условие «не лежащие на одной прямой» обязательно.

Одна из аксиом утверждает: если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Это понятно по смыслу прямой: через две её точки проходит вся линия, и в данном случае она целиком принадлежит той же плоскости. Аксиома позволяет сделать вывод о прямой по двум точкам, а не проверять каждую её точку отдельно.

Если две различные плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой. Действительно, в каждой плоскости через эту точку можно провести линии, а общая часть плоскостей продолжается в одном направлении и образует прямую; отдельная точка не может быть всем их пересечением. Если известны две общие точки, прямая через них и будет линией пересечения.

Пространственные фигуры обычно изображают на плоском листе, например параллелепипед — в виде объёмного чертежа. При таком изображении некоторые отрезки и углы выглядят не так, как в действительности: рисунок передаёт отношения условно, чтобы показать расположение частей. Поэтому видимый наклон линии сам по себе не доказывает её свойства — выводы делают по условиям задачи и аксиомам.

Основные аксиомы стереометрии

Сначала определи, какие точки, прямые и плоскости даны в задаче. Затем выбери утверждение, условие которого выполнено: например, для вывода о прямой нужны две её точки в плоскости. Такой порядок помогает не делать выводов, для которых данных недостаточно.

Если речь идёт о двух плоскостях, различай наличие общей точки и конкретное обозначение линии пересечения. Когда известны две общие точки, эта линия проходит через них.

Разбор задач

Задача 1. Три точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через них? Нужно проверить, подходит ли условие к аксиоме о задании плоскости. В условии прямо сказано, что точки не лежат на одной прямой.

1. Сопоставим условие с аксиомой: она относится к любым трём точкам, не лежащим на одной прямой.
2. Аксиома говорит не только о существовании плоскости, но и о том, что она единственная.
3. Значит, через A, B и C проходит ровно одна плоскость.

Ответ: одна плоскость.

Задача 2. Точки A и B прямой лежат в плоскости α. Лежит ли в α вся прямая AB? Здесь важно не спутать принадлежность двух точек с принадлежностью только одной точки. В условии названы две точки одной и той же прямой.

1. Выясним, какая прямая проходит через точки A и B: это прямая AB.
2. Обе её точки принадлежат плоскости α, значит, выполнено условие аксиомы о прямой.
3. По аксиоме вся прямая AB лежит в плоскости α.

Ответ: да, вся прямая AB лежит в α.

Задача 3. Плоскости α и β имеют общую точку A, а точка B также принадлежит обеим плоскостям. Что можно сказать об их пересечении и прямой AB? Сначала установим, что плоскости пересекаются, а затем определим общую линию по двум известным точкам. Так можно применить обе нужные аксиомы по порядку.

1. У плоскостей есть общая точка A, поэтому по аксиоме их пересечение является прямой.
2. Точки A и B принадлежат обеим плоскостям, значит, обе лежат на их общей прямой.
3. Единственная прямая через A и B — AB, поэтому она и есть линия пересечения α и β.

Ответ: плоскости пересекаются по прямой AB.

Типичные ошибки

• Считать, что любые три точки задают единственную плоскость. Так думают, забывая проверить, не лежат ли все три точки на одной прямой; в этом случае плоскостей через прямую может быть несколько. Перед применением аксиомы проверь условие о неколлинеарности точек.
• Делать вывод, что прямая лежит в плоскости, если у них есть одна общая точка. Одной точки недостаточно: через неё могут проходить прямые, не лежащие в этой плоскости. Проверь, что в плоскости находятся две точки именно этой прямой.
• Предполагать, что две плоскости могут иметь ровно одну общую точку. Это кажется возможным, если смотреть только на отдельное место встречи на рисунке, но по аксиоме общая часть различных плоскостей — прямая. Если плоскости имеют общую точку, укажи их линию пересечения.
• Принимать вид рисунка за доказательство пространственного свойства. На плоском листе пространственные отношения передаются условно, поэтому параллельные или пересекающиеся линии могут выглядеть иначе. Проверяй каждый вывод по аксиомам и данным задачи, а чертёж используй как подсказку.

Связь с другими темами

Для начала стереометрии нужны знакомые по планиметрии понятия точки, прямой и плоскости, а также умение говорить, принадлежит ли объект фигуре и где фигуры пересекаются. Эти знания помогают читать пространственные чертежи и точно формулировать условия. Аксиомы стереометрии станут основой для изучения многогранников и взаимного расположения прямых и плоскостей. Они также пригодятся при решении задач, где нужно обосновать пространственные выводы.

Что запомнить

• Стереометрия изучает фигуры в пространстве.
• Три точки, не лежащие на одной прямой, задают единственную плоскость.
• Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит ей.
• Общая часть двух пересекающихся плоскостей — прямая.
• Пространственный рисунок условен и сам по себе не доказывает утверждение.