2.10. Вписанные и описанные четырёхугольники

Определения и обозначения

Вписанный четырёхугольник — четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности; эта окружность называется описанной около него. Иными словами, окружность проходит через каждую вершину фигуры. Определение позволяет связать углы четырёхугольника с дугами окружности и проверять, можно ли расположить его вершины на общей окружности.

Описанный четырёхугольник — четырёхугольник, все стороны которого касаются одной окружности; эта окружность называется вписанной в него. Сторона касается окружности, если имеет с ней одну общую точку и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Это определение нужно, чтобы применять свойства касательных и находить длины сторон.

Описанная окружность четырёхугольника — окружность, проходящая через все его вершины; её центр равноудалён от вершин. Расстояние от центра до каждой вершины является радиусом. Такая окружность служит общей опорой для изучения углов и сторон вписанного четырёхугольника.

Вписанная окружность четырёхугольника — окружность, касающаяся всех его сторон; её центр равноудалён от сторон. Это расстояние называют радиусом вписанной окружности. Понятие помогает рассматривать четырёхугольник как фигуру, вокруг которой можно провести касательные к окружности.

Как это устроено

У вписанного четырёхугольника противоположные углы в сумме равны 180°. Например, для ABCD это означает, что ∠A + ∠C = 180°. Каждый вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, а дуги для противоположных углов вместе составляют полную окружность. Поэтому сумма углов равна половине 360°, то есть 180°.

Условие о сумме углов работает и в обратную сторону: если у выпуклого четырёхугольника ∠A + ∠C = 180°, его можно вписать в окружность. Чтобы увидеть причину, проведём окружность через три вершины. Угол, опирающийся на дугу между двумя из них, имеет определённую величину; угол, дополняющий его до 180°, задаёт положение четвёртой вершины на той же окружности. Выпуклость нужна, чтобы вершины и углы располагались в обычном порядке.

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD. Из каждой вершины к вписанной окружности можно провести две касательные, и их отрезки равны. Если обозначить равные отрезки от вершин A, B, C и D, то длины сторон складываются из этих отрезков попарно. При сложении противоположных сторон каждый такой отрезок учитывается по одному разу, поэтому суммы совпадают.

Верно и обратное: если у выпуклого четырёхугольника суммы противоположных сторон равны, в него можно вписать окружность. Представь, что из вершин проводят линии, делящие углы пополам: точка пересечения таких линий равноудалена от сторон. Равенство сумм сторон обеспечивает, что расстояния от этой точки позволяют окружности касаться всех четырёх сторон. Так признак отличает четырёхугольник, для которого вписанная окружность действительно существует.

Чтобы определить вид четырёхугольника, сначала выясни, что именно известно: углы или длины сторон. Для проверки вписанности сравни сумму противоположных углов с 180°, а для проверки описанности сравни суммы противоположных сторон. Если требуется неизвестная величина, запиши соответствующее равенство и вырази из него искомый угол или сторону. Не путай противоположные элементы с соседними: у ABCD противоположны пары A и C, B и D, а также стороны AB и CD, BC и AD.

Свойства и признаки вписанных и описанных четырёхугольников

Пользуйся таблицей как памяткой: сначала определи, ищешь ли ты окружность через вершины или окружность, касающуюся сторон. Затем выбери нужную строку со свойством или признаком и составь равенство. В строке о том, что можно найти, указаны типичные, но не единственные применения.

Разбор задач

Задача 1. В выпуклом четырёхугольнике три угла равны 72°, 105° и 83°. Определите четвёртый угол и выясните, можно ли вписать четырёхугольник в окружность. Сначала используем то, что сумма всех четырёх углов равна 360°. После этого проверим именно противоположные углы: одного знания суммы всех углов недостаточно для вывода о вписанности.

1. Четвёртый угол равен 360° − (72° + 105° + 83°) = 100°.
2. Последовательность расположения данных углов в условии не указана, поэтому проверить пары противоположных углов нельзя. Если углы идут по порядку, пары противоположных — первый с третьим и второй с четвёртым: 72° + 83° = 155°, 105° + 100° = 205°.
3. Ни одна из этих сумм не равна 180°, значит, при таком расположении четырёхугольник нельзя вписать в окружность.

Ответ: четвёртый угол равен 100°; если перечисленные углы даны по порядку, четырёхугольник не является вписанным. Если порядок не задан, для окончательной проверки требуется знать, какие углы противоположны.

Задача 2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол A равен 68°. Найдите угол C, а если угол B равен 94°, найдите угол D. Здесь дано, что четырёхугольник уже вписан, поэтому можно сразу использовать свойство суммы противоположных углов. Сначала составим равенство для пары A и C, затем отдельно — для B и D.

1. ∠A + ∠C = 180°, значит, ∠C = 180° − 68° = 112°.
2. ∠B + ∠D = 180°, значит, ∠D = 180° − 94° = 86°.
3. Проверим вычисления: 68° + 112° = 180°, а 94° + 86° = 180°. Обе пары соответствуют свойству вписанного четырёхугольника.

Ответ: ∠C = 112°, ∠D = 86°.

Задача 3. Длины сторон выпуклого четырёхугольника последовательно равны 7 см, 11 см, 9 см и x см. Найдите x, если в четырёхугольник можно вписать окружность. Слово «последовательно» означает, что стороны расположены по кругу, поэтому противоположны первая и третья, а также вторая и четвёртая. Для описанного четырёхугольника суммы этих пар равны.

1. Запишем равенство противоположных сумм: 7 + 9 = 11 + x.
2. Сложим известные числа: 16 = 11 + x.
3. Вычтем 11 из обеих частей: x = 5. Длина стороны положительна, поэтому результат подходит.

Ответ: x = 5 см.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что противоположные углы вписанного четырёхугольника равны. Такое заключение получают, путая сумму с равенством: на самом деле сумма пары противоположных углов равна 180°, а сами углы могут быть разными. Проверка простая: сложи их величины и сравни с 180°, не приравнивай их друг к другу.

Ошибка: менять местами условия для вписанного и описанного четырёхугольников. В первом случае рассматривают углы, во втором — суммы сторон; путаница возникает из-за похожих слов в названиях. Перед решением определи, что лежит на окружности или касается её, а затем проверь, сравниваешь ли ты нужные элементы.

Ошибка: по равенству сумм противоположных сторон заключать, что сам четырёхугольник вписан в окружность. Это равенство относится к описанному четырёхугольнику и служит признаком существования окружности, вписанной в него. Для проверки названия окружности спроси себя, касается она сторон или проходит через вершины.

Ошибка: применять признаки к любому четырёхугольнику, не проверив выпуклость, или брать соседние углы и стороны. Её допускают, когда обозначения читают невнимательно. Нарисуй порядок вершин A, B, C, D и отметь пары A–C, B–D, AB–CD и BC–AD; затем убедись, что фигура выпуклая.

Связь с другими темами

Для работы с вписанным четырёхугольником нужно знать свойства центральных и вписанных углов: именно они объясняют связь углов с дугами окружности. Для описанного четырёхугольника пригодится признак касательной к окружности — радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Эти знания помогают понять, откуда берутся свойства обеих фигур.

Равенство сумм сторон описанного четырёхугольника следует из свойства равных касательных, проведённых из одной точки. При вычислениях также используется сумма углов четырёхугольника, равная 360°. Поэтому тема соединяет окружности, касательные, углы и обычные алгебраические уравнения.

Свойства и признаки пригодятся в задачах на окружность, при доказательстве геометрических утверждений и при вычислении углов или сторон. Они помогают не только найти неизвестное, но и обосновать, почему заданный четырёхугольник можно связать с окружностью. В следующих задачах сначала выбирай нужное свойство, а затем подставляй известные величины.

Что запомнить

• У вписанного четырёхугольника все вершины лежат на одной окружности.
• У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°.
• Если противоположные углы выпуклого четырёхугольника в сумме дают 180°, его можно вписать в окружность.
• У описанного четырёхугольника все стороны касаются одной окружности.
• У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны.
• Равенство сумм противоположных сторон — признак существования вписанной окружности в выпуклый четырёхугольник.