2.9. Теорема Фалеса

Определения и обозначения

Теорема Фалеса утверждает: если несколько параллельных прямых пересекают две прямые и отрезки между соседними точками пересечения на одной прямой равны, то соответствующие отрезки на другой прямой тоже равны. Здесь важно не перепутать условие и вывод: равные части сначала должны быть установлены на одной секущей. Теорема помогает переносить равенство отрезков с одной прямой на другую.

Пучок параллельных прямых — это несколько прямых, параллельных друг другу. Две другие прямые пересекают каждую из них, поэтому на каждой такой прямой появляются точки пересечения. Промежутки между соседними точками образуют отрезки, которые можно сопоставлять на двух пересекающих прямых.

Секущая — прямая, пересекающая несколько других прямых. Если параллельные прямые пересекают секущую, на ней возникают точки пересечения и отрезки между соседними точками. Именно эти отрезки рассматривают в теореме, а не произвольные части секущей.

Равные отрезки — отрезки одинаковой длины. В теореме Фалеса сравнивают соседние отрезки между точками пересечения, а на двух секущих — отрезки, ограниченные одной и той же парой соседних параллельных прямых. Такое соответствие нужно, чтобы сравнивать именно те части, которые образованы одним и тем же промежутком пучка.

Как это устроено

Представь две секущие — прямые, пересекающие несколько параллельных прямых. Обозначим точки пересечения на первой секущей A, B, C, а на второй — A₁, B₁, C₁, расположив их в соответствующем порядке. На первой секущей рассматриваются отрезки AB и BC, на второй — A₁B₁ и B₁C₁. Каждая пара ограничена теми же двумя соседними параллельными прямыми.

Условие теоремы выполняется, если прямые пучка параллельны, обе секущие пересекают их, а отрезки AB и BC равны. Речь идёт о соседних промежутках на одной секущей, а не о двух любых отрезках на чертеже. Равенство этих частей — исходное данное, из которого можно получить новое равенство на второй секущей.

Заключение состоит в том, что A₁B₁ = B₁C₁. Соответствие определяют по границам: отрезку AB соответствует часть между теми же двумя параллельными прямыми на второй секущей, то есть A₁B₁. Аналогично BC соответствует B₁C₁; порядок точек помогает не сопоставить отрезки, относящиеся к разным промежуткам.

Почему получается равенство? Из-за параллельности прямых соответствующие углы при пересечении секущими равны. Если продолжить секущие до их пересечения, образуются подобные треугольники: у них равны углы, а соответствующие стороны пропорциональны. Равные соседние отрезки на первой секущей дают равные приращения расстояний между параллельными прямыми, поэтому соответствующие промежутки на второй секущей также равны.

Теорема позволяет разделить отрезок на любое заданное число равных частей, не измеряя каждую часть на нём. Например, чтобы получить пять частей, из одного конца отрезка проводят вспомогательный луч и откладывают на нём пять равных отрезков. Пятую отметку соединяют с другим концом исходного отрезка, а через остальные отметки проводят параллельные соединяющей прямой. По теореме Фалеса равные отрезки на луче соответствуют равным частям исходного отрезка.

Условия и выводы при применении теоремы Фалеса

Сначала проверь, есть ли пучок параллельных прямых и какие именно соседние отрезки равны. Затем сопоставь промежутки на секущих по общей паре параллельных границ. Во второй строке таблицы теорема используется как обоснование построения: равные части луча переходят в равные части исходного отрезка.

Разбор задач

1. Равные отрезки на первой секущей

Параллельные прямые пересекают две секущие. На первой секущей два соседних отрезка равны 3 см и 3 см. Нужно определить, что известно о соответствующих частях второй секущей. Перед применением теоремы проверим, что в условии есть и параллельность, и равенство соседних отрезков.

1. Параллельные прямые пересекают обе секущие — первое условие теоремы выполнено. Отрезки на первой секущей равны, поскольку каждый имеет длину 3 см. Значит, можно перейти к соответствующим частям второй секущей.
2. Сопоставляем отрезки по одним и тем же парам соседних параллельных прямых. Теорема Фалеса говорит, что при равенстве отрезков на первой секущей соответствующие отрезки на второй также равны. Их числовая длина отдельно не задана, но равенство между ними следует из условия.

Ответ: соответствующие отрезки на второй секущей равны между собой.

2. Три равных промежутка

На одной секущей образованы три соседних равных отрезка. Один из соответствующих отрезков на второй секущей имеет длину 4 см. Требуется найти длины двух остальных. Здесь нельзя подставлять число 4 только по расположению на чертеже: сперва нужно установить, что всем трём отрезкам первой секущей соответствуют равные отрезки второй.

1. Проверяем условия: параллельные прямые пересекают обе секущие, а три соседних отрезка на первой секущей равны. Теорема Фалеса показывает, что каждый из трёх соответствующих отрезков на второй секущей равен остальным. Это относится к промежуткам между теми же соседними параллельными прямыми.
2. Один из этих равных отрезков равен 4 см. Следовательно, каждый из двух остальных имеет такую же длину. Дополнительные вычисления не нужны: числовое значение переносится благодаря доказанному равенству.

Ответ: 4 см и 4 см.

3. Деление отрезка на пять частей

Нужно разделить данный отрезок на пять равных частей, используя линейку и угольник. Измерять пять частей на самом отрезке неудобно, поэтому равные отрезки откладывают на вспомогательном луче. Угольник позволяет провести параллельные линии, необходимые для применения теоремы.

1. Обозначим исходный отрезок AB. Из точки A проведём луч, не совпадающий с AB, и отложим на нём пять равных отрезков. Получим отметки C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, причём соседние промежутки на луче одинаковы.
2. Соединим C₅ с точкой B. Эта линия задаёт направление для параллельных прямых, которые нужно провести через C₁, C₂, C₃ и C₄. Каждая такая прямая пересечёт AB и создаст на нём точку деления.
3. Пучок параллельных прямых пересекает две секущие: вспомогательный луч и отрезок AB. На луче пять равных промежутков, поэтому по теореме Фалеса соответствующие пять промежутков на AB также равны. Так получаем требуемое деление.

Ответ: отрезок разделён на пять равных частей.

Типичные ошибки

Ошибка — применять теорему к любым пересекающимся прямым, не проверив параллельность. Её допускают, потому что на рисунке промежутки могут выглядеть похожими, хотя этого недостаточно для доказательства. Проверь, что прямые, отсекающие части на секущих, действительно параллельны; без этого вывода о равенстве нет.

Нельзя сравнивать на секущих отрезки, расположенные между разными парами параллельных прямых. Иногда выбирают части только по близости или длине, забывая об их границах. Для проверки проследи, между какими именно двумя соседними параллельными прямыми лежит каждый отрезок: эти границы должны совпадать по соответствию.

Ещё одна ошибка — сразу заключать, что части на второй секущей равны, хотя на первой равенство не установлено. Теорема переносит уже известное равенство, но не создаёт его без условия. Перед выводом запиши, какие соседние отрезки равны на первой секущей, и проверь наличие параллельных прямых.

При делении отрезка построенные прямые должны быть параллельны линии, соединяющей последнюю отметку вспомогательного луча с другим концом отрезка. Если провести их под произвольным наклоном, равенство частей не гарантируется. Проверь угольником параллельность и убедись, что линии проходят через нужные отметки луча.

Связь с другими темами

Для применения теоремы нужны признаки параллельности прямых и свойства углов, возникающих при пересечении параллельных прямых секущей. Также важно понимать, что означает равенство отрезков и как находить точки пересечения на чертеже. Эти знания помогают распознать условия теоремы и обосновать её вывод.

Теорема Фалеса используется в геометрических построениях, когда требуется разделить отрезок на равные части. Она также подготавливает к изучению пропорциональных отрезков и подобия треугольников. В следующих задачах вместо равных частей могут рассматриваться отрезки, длины которых относятся как заданные числа.

Что запомнить

• Теорема Фалеса связывает отрезки, которые пучок параллельных прямых отсекает на двух секущих.
• Параллельность прямых — обязательное условие применения теоремы.
• Если соседние отрезки на одной секущей равны, соответствующие отрезки на другой секущей тоже равны.
• Соответствие определяют по одним и тем же парам соседних параллельных прямых.
• С помощью теоремы можно разделить отрезок на любое заданное число равных частей.