2.8. Трапеция

Определения и обозначения

Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны. Например, если в четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны, а AB и CD не параллельны, то ABCD — трапеция. Определение помогает сразу проверить, подходит ли фигура под это название.

Основания трапеции — её параллельные стороны, а боковые стороны — две оставшиеся. В трапеции ABCD с AD ∥ BC основаниями будут AD и BC, а боковыми сторонами — AB и CD. Такое обозначение нужно, чтобы не перепутать стороны при использовании свойств и вычислении средней линии.

Высота трапеции — перпендикуляр, опущенный из вершины одного основания на прямую, содержащую другое основание. Если перпендикуляр из вершины попадает за пределы самого основания, его проводят к продолжению стороны. Высота показывает расстояние между параллельными основаниями и всегда образует с ними прямой угол.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Чтобы построить её, нужно отметить середину каждой боковой стороны и соединить эти точки. Эта линия удобна тем, что связана сразу с обоими основаниями: она параллельна им, а её длина вычисляется через их длины.

Как это устроено

Чтобы узнать основания, сначала найди пару противоположных сторон, которые параллельны: именно они и являются основаниями. В обозначениях AD ∥ BC, значит, основания — AD и BC, а AB и CD — боковые стороны. Не ориентируйся на то, какая сторона нарисована горизонтально или длиннее: решает параллельность, а не положение на листе.

Углы, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме равны 180°. Например, при основаниях AD ∥ BC боковая сторона AB пересекает параллельные прямые, поэтому углы A и B — односторонние углы при секущей. По свойству таких углов их сумма составляет 180°; то же рассуждение подходит для углов при боковой стороне CD.

Чтобы доказать, что средняя линия параллельна основаниям, проведи диагональ трапеции. Она делит трапецию на два треугольника, а середины боковых сторон оказываются серединами двух сторон одного из этих треугольников. По теореме о средней линии треугольника отрезок между серединами двух сторон параллелен третьей стороне. Эта третья сторона лежит на основании трапеции, поэтому средняя линия параллельна обоим основаниям.

Та же диагональ помогает получить длину средней линии. В треугольнике её отрезок между серединами сторон равен половине третьей стороны; вторую часть рассуждения можно провести для другого треугольника. В результате длина средней линии равна полусумме оснований: m = (a + b) / 2. Если известны средняя линия и одно основание, второе находят преобразованием формулы: b = 2m − a.

Равнобедренной называют трапецию, у которой боковые стороны равны. Равенство боковых сторон приводит к симметричному расположению фигуры относительно перпендикуляра к основаниям, поэтому углы при каждом основании равны. Из той же симметрии следует равенство диагоналей. Эти выводы относятся именно к равнобедренной трапеции, а не к любой фигуре такого вида.

Основные свойства трапеции

Сравнивай свойства в строках: столбец «Любая трапеция» содержит то, что верно без дополнительных условий, а последний столбец — то, что требует равенства боковых сторон. Это помогает не применять свойства равнобедренной трапеции к произвольной. Средняя линия параллельна основаниям у любой трапеции.

Разбор задач

Задача 1. В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, угол A равен 68°. Найдите угол D. Углы A и D прилежат к боковой стороне AD. Значит, их сумма связана со свойством односторонних углов при параллельных прямых.

1. Отметим, что AD и BC параллельны, а AB служит секущей для этих прямых.
2. Углы A и B составляют 180°, но требуется угол D. Углы A и D в стандартной записи лежат при основании AD и не являются парой при одной боковой стороне.
3. Для нахождения D данных недостаточно: угол D связан суммой 180° с углом C, а величина C не задана.

Ответ: по указанным данным угол D определить нельзя. Важно заметить, что в условии угол A не относится к той паре односторонних углов, которая прилежит к одной боковой стороне. Если вместо угла A задан угол C, тогда D = 180° − C.

Задача 2. Основания трапеции равны 7 см и 13 см. Найдите длину её средней линии. Обозначим среднюю линию через m, а основания — через a и b. Нужно применить формулу полусуммы, а не складывать длины без деления.

1. Запишем формулу средней линии: m = (a + b) / 2.
2. Подставим известные значения: m = (7 + 13) / 2 = 20 / 2.
3. Выполним деление: m = 10 см.

Ответ: 10 см. Значение находится между длинами оснований, что служит быстрой проверкой результата. Если бы получилась сумма 20 см, значит, мы забыли разделить её пополам.

Задача 3. В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, AB = CD. Докажите, что углы при основании AD равны. Сначала определим вид трапеции: её боковые стороны AB и CD равны. Это и есть признак равнобедренной трапеции.

1. По условию AD ∥ BC, поэтому ABCD является трапецией с основаниями AD и BC.
2. По условию AB = CD, следовательно, боковые стороны равны и трапеция равнобедренная.
3. У равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Для основания AD это углы DAB и CDA.

Ответ: ∠DAB = ∠CDA. Здесь важно было сначала проверить равенство именно боковых сторон, а затем применить свойство равнобедренной трапеции. Одной параллельности оснований для такого вывода было бы недостаточно.

Типичные ошибки

Ошибка — называть основаниями любые противоположные стороны. Так бывает, если ориентироваться на привычную форму рисунка, а не на определение. Проверь себя: основаниями могут быть только параллельные стороны; отметь на чертеже знак параллельности и назови эту пару.

Боковую сторону иногда принимают за высоту, потому что обе линии соединяют области у оснований. Но боковая сторона соединяет вершины, а высота обязательно перпендикулярна прямым оснований. Проверь наличие прямого угла: если его нет, отрезок не является высотой.

Среднюю линию ошибочно считают суммой оснований или их разностью. Обычно путают формулу, потому что сначала складывают длины и забывают следующий шаг. Запиши m = (a + b) / 2 и проверь, что ответ лежит между длинами оснований.

Ещё одна ошибка — считать углы при основании или диагонали равными у любой трапеции. Эти равенства требуют дополнительного условия: трапеция должна быть равнобедренной. Проверь, что боковые стороны равны; если это не дано и не доказано, применять соответствующие свойства нельзя.

Связь с другими темами

Чтобы изучать трапецию, нужно знать признаки параллельности прямых и свойство односторонних углов: оно объясняет сумму углов при боковой стороне. Для доказательства свойств средней линии используется теорема о средней линии треугольника, поэтому полезно узнавать треугольники внутри трапеции. Позже свойства трапеции пригодятся при нахождении площадей многоугольников, решении задач на подобие и доказательстве геометрических утверждений.

Что запомнить

• У трапеции одна пара противоположных сторон параллельна.
• Параллельные стороны — основания, непараллельные — боковые стороны.
• Сумма углов при одной боковой стороне равна 180°.
• Средняя линия соединяет середины боковых сторон.
• Средняя линия параллельна основаниям.
• Длина средней линии равна полусумме оснований.
• У равнобедренной трапеции углы при каждом основании и диагонали попарно равны.