59. Трапеция

Определения и обозначения

Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны образуют одну пару, поэтому трапецию отличают от параллелограмма, у которого параллельны обе пары сторон. Это определение помогает проверить, является ли данный четырёхугольник трапецией.

Основания трапеции — её параллельные стороны, а две остальные стороны называются боковыми. Основания обычно лежат по разные стороны фигуры, а боковые соединяют их концы. Это разделение нужно, чтобы точно описывать элементы трапеции и понимать, к каким сторонам относятся её свойства.

Высота трапеции — перпендикуляр, опущенный из точки одного основания на прямую, содержащую другое основание. Перпендикуляр образует с основаниями прямой угол, то есть угол 90°. Высота нужна, чтобы измерять расстояние между основаниями; наклонную боковую сторону нельзя считать высотой, если она не перпендикулярна им.

Равнобедренная трапеция — трапеция, боковые стороны которой равны. Слово «равнобедренная» здесь указывает именно на равенство боковых сторон, а не оснований. Это определение выделяет особый вид трапеции, для которого можно применять дополнительные свойства углов и диагоналей.

Как это устроено

Основания выделяют потому, что именно они параллельны друг другу, тогда как боковые стороны соединяют их и обычно наклонены. Поэтому у трапеции есть два разных типа сторон, и свойства относятся к ним по-разному. Например, углы при основании удобно рассматривать как пару, а углы при боковой стороне — как другую пару. Если перепутать эти роли, легко неверно применить правило о сумме углов.

Чтобы провести высоту, выбери точку на одном основании и опусти из неё перпендикуляр на прямую, содержащую другое основание. Прямая может попасть не на отрезок основания, а на его продолжение — определение всё равно выполняется. Расстояние между параллельными прямыми одинаково в любой точке: если бы оно менялось, прямые сближались бы или расходились, то есть не оставались бы параллельными. Поэтому любой перпендикуляр между ними имеет одну и ту же длину.

Диагональ соединяет две противоположные вершины и делит трапецию на два треугольника. Так как основания параллельны, диагональ пересекает их как секущая — прямая, пересекающая две другие прямые. При этом накрест лежащие углы равны, а соответственные углы тоже равны. Эти соотношения помогают сопоставлять углы треугольников, образованных диагональю, и использовать их в доказательствах.

Каждая боковая сторона пересекает оба параллельных основания. Углы внутри полосы между основаниями, расположенные по одну сторону от такой секущей, называются внутренними односторонними. По свойству параллельных прямых их сумма равна 180°. Поэтому углы при одной боковой стороне трапеции всегда дополняют друг друга до развёрнутого угла, даже если трапеция не равнобедренная.

В равнобедренной трапеции равенство боковых сторон приводит к симметрии фигуры относительно перпендикуляра к основаниям, проходящего через их середины. При отражении относительно этой оси вершины одного конца оснований переходят в соответствующие вершины другого конца. Поэтому углы при каждом основании равны попарно, а диагонали, переходящие друг в друга при отражении, имеют одинаковую длину. У произвольной трапеции такой симметрии может не быть, и эти равенства не гарантируются.

Элементы и свойства трапеции

Сначала определите, какой элемент дан или требуется найти: основание, боковая сторона, высота либо угол. Затем проверьте, относится ли задача к любой трапеции или только к равнобедренной. Применяйте соответствующее свойство: не переносите равенство углов и диагоналей на произвольную трапецию.

Разбор задач

В трапеции ABCD основания AD и BC. Найдите угол B, если угол A равен 68°.

1. Угол A и угол B расположены при одной боковой стороне AB. Эта сторона пересекает параллельные основания AD и BC.
2. Значит, углы A и B — внутренние односторонние. Их сумма равна 180°.
3. Подставим значение угла A: ∠B = 180° − 68° = 112°.

Ответ: 112°. Здесь важна именно боковая сторона AB: углы при ней дополняют друг друга до 180°, поскольку основания параллельны.

В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 7 см, а периметр — 30 см. Найдите сумму оснований.

1. По определению равнобедренной трапеции вторая боковая сторона тоже равна 7 см.
2. Периметр — сумма длин всех четырёх сторон. Если обозначить основания через a и b, получим: a + b + 7 + 7 = 30.
3. Вычтем длины обеих боковых сторон: a + b = 30 − 14 = 16 см.

Ответ: 16 см. Не нужно находить каждое основание отдельно: в условии требуется их сумма, и периметр сразу даёт это значение после вычитания боковых сторон.

В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и BC, диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники AOB и DOC равны.

1. Рассмотрим симметрию равнобедренной трапеции относительно перпендикуляра к основаниям, проведённого через их середины. Такая ось существует из-за равенства боковых сторон.
2. При отражении вершина A переходит в D, а B — в C. Точка O пересечения диагоналей лежит на оси симметрии, поэтому остаётся на месте.
3. Значит, сторона AB переходит в DC, а лучи OA и OB — в OD и OC. Отражение сохраняет длины и углы, поэтому треугольник AOB переходит в треугольник DOC.

Следовательно, треугольники AOB и DOC равны. Такой способ использует симметрию равнобедренной трапеции: соответствующие вершины и стороны при отражении совмещаются.

Типичные ошибки

Ошибка: называть основаниями любые две противоположные стороны. Так можно подумать, потому что у четырёхугольника две пары противоположных сторон, но в трапеции основаниями служит только пара параллельных сторон. Проверьте себя: проведите или представьте продолжения сторон — именно у оснований направления совпадают и они не пересекаются.

Ошибка: считать высотой боковую сторону. Боковая сторона может быть наклонной, и её длина тогда не равна перпендикулярному расстоянию между основаниями. Высота обязана образовывать с основаниями прямой угол. Проверьте чертёж угольником: если угол не 90°, этот отрезок не высота.

Ошибка: считать равными углы при одном основании любой трапеции. Такое равенство относится к равнобедренной трапеции, а не следует из одной только параллельности оснований. Путаница возникает, если перенести свойства особого вида фигуры на все трапеции. Сначала проверьте, указано ли равенство боковых сторон.

Ошибка: складывать до 180° углы при одном основании. На самом деле в 180° складываются углы, расположенные у концов одной боковой стороны, потому что эта сторона пересекает параллельные основания. Чтобы проверить выбор пары, найдите общую боковую сторону у двух углов. Если они прилежат к одному основанию, правило о сумме 180° к ним автоматически не относится.

Связь с другими темами

Для изучения трапеции нужно знать, что такое четырёхугольник и параллельные прямые. Также пригодится свойство внутренних односторонних углов: при пересечении параллельных прямых секущей их сумма равна 180°. Эти знания объясняют связь между углами при боковой стороне.

Свойства трапеции помогают решать задачи о четырёхугольниках, доказывать равенство треугольников и находить неизвестные углы. Высота понадобится в задачах на площадь: площадь трапеции выражается через сумму оснований и высоту. Поэтому умение распознавать основания и проводить высоту пригодится и в следующих геометрических темах.

Что запомнить

• У трапеции одна пара параллельных противоположных сторон.
• Параллельные стороны трапеции — её основания.
• Высота перпендикулярна основаниям.
• Углы при каждой боковой стороне в сумме дают 180°.
• В равнобедренной трапеции боковые стороны равны.
• В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
• Диагонали равнобедренной трапеции равны.