§ 8. Трапеция

Определения и обозначения

Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Обычно эти стороны не параллельны второй паре, иначе получится параллелограмм. Это определение позволяет отличить трапецию от других четырёхугольников.

Основаниями трапеции называют её параллельные стороны, а две другие стороны — боковыми сторонами. Если основания обозначены AB и CD, то боковыми будут AD и BC. Такое разделение нужно, чтобы правильно применять свойства углов и сторон.

Высота трапеции — это перпендикулярный отрезок между прямыми, содержащими её основания. Его длина показывает расстояние между основаниями и обычно обозначается h. Высота может лежать внутри трапеции или быть продолжением боковой стороны.

Равнобедренная трапеция имеет равные боковые стороны, а прямоугольная трапеция — прямой угол. В равнобедренной трапеции появляются дополнительные равенства углов и диагоналей. В прямоугольной трапеции из параллельности оснований следуют два прямых угла.

Как это устроено

Основания выделяют потому, что именно они параллельны и задают направление трапеции. Боковые стороны соединяют концы оснований и могут быть наклонными или одна из них может быть перпендикулярной основаниям. Поэтому форма трапеции меняется, но параллельность оснований сохраняется.

Рассмотрим боковую сторону AD при основаниях AB ∥ CD. Прямые AD пересекают две параллельные прямые, поэтому углы A и D являются односторонними и их сумма равна 180°. Точно так же для другой боковой стороны BС выполняется ∠B + ∠C = 180°.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому при проведении высот к большему основанию по краям образуются равные прямоугольные треугольники. Их соответствующие углы равны, а средняя часть фигуры остаётся общей. Так получается равенство углов при каждом основании и симметрия относительно перпендикуляра к основаниям.

Диагонали равнобедренной трапеции равны из-за той же симметрии: отражение фигуры переводит одну диагональ в другую, не меняя её длины. Это можно доказать и через равенство треугольников, возникающих при проведении диагоналей. Поэтому для такой трапеции AC = BD.

Равенство углов при одном основании сразу указывает на равнобедренную трапецию: равные углы вместе с параллельностью оснований дают равенство боковых отрезков. Признаком служит и равенство диагоналей. Чтобы не принять свойство за случайность, нужно использовать именно параллельность оснований и доказать равенство соответствующих треугольников или их элементов.

Виды трапеций и их основные свойства

Сначала по таблице определите, какие признаки заданы в условии. Затем выбирайте только те свойства, которые соответствуют виду трапеции.

Например, равенство диагоналей нельзя использовать для произвольной трапеции, но можно использовать как признак равнобедренной.

Разбор задач

Задача 1

В трапеции ABCD основания AB и CD параллельны. Найдите угол D, если угол A равен 68°.

1. Углы A и D расположены при одной боковой стороне AD.
2. Так как AB ∥ CD, эти углы односторонние, поэтому ∠A + ∠D = 180°.
3. Подставим известное значение: ∠D = 180° − 68° = 112°.

Ответ: ∠D = 112°.

Задача 2

В равнобедренной трапеции ABCD угол A равен 55°, а боковая сторона AD равна 7 см. Найдите углы B, C, D и вторую боковую сторону BC.

1. В равнобедренной трапеции углы при нижнем основании равны, поэтому ∠B = ∠A = 55°.
2. Соседние углы при боковой стороне дополняют друг друга до 180°: ∠D = 180° − 55° = 125°.
3. Углы при другом основании равны, значит ∠C = ∠D = 125°.
4. Боковые стороны равны, поэтому BC = AD = 7 см.

Ответ: ∠B = 55°, ∠C = 125°, ∠D = 125°, BC = 7 см.

Задача 3

Докажите, что трапеция является равнобедренной, если её диагонали равны.

1. Пусть AB ∥ CD и AC = BD. Опустим из концов меньшего основания перпендикуляры к прямой AB.
2. Получатся прямоугольные треугольники, в которых высота общая, а горизонтальные отрезки показывают, насколько боковые стороны смещены относительно друг друга.
3. По теореме Пифагора выразим квадраты диагоналей. Их равенство после вычитания общих частей даёт равенство этих горизонтальных смещений.
4. Тогда прямоугольные треугольники, образованные боковыми сторонами, имеют общий катет-высоту и равные вторые катеты, значит их гипотенузы равны: AD = BC.

Следовательно, боковые стороны равны, поэтому исходная трапеция является равнобедренной.

Типичные ошибки

Ошибка — называть трапецией любой четырёхугольник, похожий на неё по рисунку. Параллельность нельзя определять «на глаз»: её проверяют по условию или свойствам параллельных прямых. Если параллельность не доказана, свойства трапеции применять нельзя.

Иногда основания путают с боковыми сторонами, особенно когда рисунок наклонён. Сначала найдите единственную пару параллельных сторон, а уже потом обозначайте остальные как боковые. Углы при одной боковой стороне должны давать 180°.

Нельзя считать равными все углы равнобедренной трапеции. Равны только углы при одном основании, а соседние углы на боковой стороне в сумме составляют 180°. Проверьте, лежат ли сравниваемые углы у одного основания.

Равенство диагоналей не является свойством любой трапеции. Оно характерно для равнобедренной трапеции и может использоваться как признак при доказательстве. Перед решением уточните, какой вид трапеции дан или что требуется доказать.

Связь с другими темами

До изучения трапеции нужны определение параллельных прямых и свойства углов при их пересечении секущей. Также пригодятся признаки равенства треугольников, особенно для доказательств свойств равнобедренной трапеции.

Тема связана с изученными четырёхугольниками и параллелограммом. Если у четырёхугольника параллельны обе пары противоположных сторон, он уже относится к параллелограммам, а не к обычным трапециям.

Свойства трапеции понадобятся при изучении средней линии, вычислении площадей и решении задач на доказательство. Умение находить высоту и углы помогает переходить от геометрических свойств к вычислениям.

Что запомнить

• В трапеции одна пара противоположных сторон параллельна.
• Параллельные стороны называются основаниями, остальные — боковыми сторонами.
• Сумма углов при каждой боковой стороне равна 180°.
• В равнобедренной трапеции боковые стороны равны.
• В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
• Диагонали равнобедренной трапеции равны.
• Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.