§ 7. Средняя линия треугольника

Определения и обозначения

Середина отрезка — точка, делящая отрезок на два равных отрезка. Например, если M — середина AB, то AM = MB. Такое обозначение позволяет точно описывать положение точек и применять свойства равных частей.

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Если M и N — середины AB и BC, то MN — средняя линия треугольника ABC. Это определение помогает понять, какие точки нужно выбрать для построения отрезка.

Теорема о средней линии треугольника утверждает: средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине её длины. Например, MN ∥ AC и MN = AC/2. Теорема позволяет находить длины отрезков и доказывать параллельность прямых.

Средние линии треугольника — это три отрезка, соединяющие попарно середины его сторон. Для треугольника ABC их можно обозначить MN, NP и PM, если M, N и P — середины AB, BC и CA. Такое обозначение показывает сразу все три пары точек.

Как это устроено

Чтобы построить среднюю линию, сначала выбирают две стороны треугольника и находят середину каждой из них. Затем эти середины соединяют отрезком. Например, после выбора AB и BC отмечают M и N так, чтобы AM = MB и BN = NC, а затем проводят MN.

Параллельность возникает из-за равенства долей, на которые середины делят стороны. Если через M провести прямую, параллельную AC, и обозначить её пересечение с BC буквой N, то треугольники BMN и BAC будут подобны. Из подобия следует BN/BC = BM/BA = 1/2, поэтому BN = NC, а построенный отрезок действительно соединяет середины.

Та же идея объясняет длину средней линии. В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны, а коэффициент подобия малой фигуры к исходной равен 1/2. Поэтому MN/AC = 1/2, то есть MN = AC/2.

В каждом треугольнике есть три пары сторон, а значит, можно выбрать середины каждой пары. Пара MN соединяет середины AB и BC и соответствует стороне AC; NP соединяет середины BC и CA и соответствует AB; PM соединяет середины CA и AB и соответствует BC. Поэтому для одного треугольника получаются ровно три средние линии.

Если провести все три средние линии, они пересекутся в трёх серединах сторон и образуют внутренний треугольник MNP. Каждая его сторона параллельна стороне исходного треугольника и вдвое короче неё. Поэтому треугольники ABC и MNP подобны с коэффициентом 1/2.

Свойства средней линии треугольника

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, середины каких двух сторон соединяет данный отрезок. Затем найдите третью сторону: именно ей отрезок параллелен и равен половине её длины. Для обратного вычисления длину третьей стороны умножают на 2.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC. Найдём MN, если AC = 18 см. Отрезок MN соединяет середины двух сторон, значит, это средняя линия, соответствующая стороне AC.

1. По теореме о средней линии MN = AC/2.
2. Подставим значение: MN = 18/2 = 9 см.
3. Параллельность здесь также можно записать: MN ∥ AC.

Ответ: MN = 9 см.

Задача 2

В треугольнике ABC точка M — середина AB, а MN ∥ AC. Докажем, что N — середина BC. Нужно показать равенство BN и NC, а не только установить положение точки N.

1. Рассмотрим треугольники BMN и BAC. У них общий угол B, а MN ∥ AC, поэтому соответствующие углы равны.
2. Треугольники подобны, следовательно, BN/BC = BM/BA.
3. Так как M — середина AB, BM/BA = 1/2. Значит, BN/BC = 1/2 и BN = BC/2.
4. Тогда оставшаяся часть NC тоже равна BC/2, поэтому BN = NC.

Ответ: N — середина BC.

Задача 3

Даны средние линии MN = 6 см, NP = 8 см и PM = 10 см. Каждая из них параллельна стороне исходного треугольника и равна половине этой стороны, поэтому соответствующую сторону нужно удвоить.

1. MN соответствует AC: AC = 2 · 6 = 12 см.
2. NP соответствует BA: AB = 2 · 8 = 16 см.
3. PM соответствует BC: BC = 2 · 10 = 20 см.
4. Периметр ABC равен 12 + 16 + 20 = 48 см.

Ответ: AC = 12 см, AB = 16 см, BC = 20 см; периметр равен 48 см.

Типичные ошибки

Ошибка — называть средней линией любой отрезок между точками на двух сторонах. Так делают, потому что отрезок внешне похож на нужный, но его концы могут не быть серединами. Проверьте равенства AM = MB и BN = NC.

Ошибка — считать, что средняя линия параллельна сторонам, на которых лежат её концы. Причина в том, что внимание направляют на расположение концов, а не на теорему. Проведите мысленно третью сторону: именно она параллельна средней линии.

Ошибка — забывать множитель 1/2 и брать среднюю линию равной третьей стороне. Это происходит при подстановке числа без применения формулы MN = AC/2. Если ищете среднюю линию, делите известную сторону на 2.

Ошибка — неверно сопоставлять среднюю линию и сторону. Отрезок соединяет середины двух сторон, но равен половине третьей, а не одной из этих двух. Назовите сторону, которой отрезок параллелен, и только потом выполняйте вычисление.

Связь с другими темами

• До изучения средней линии нужны определение середины отрезка, обозначения сторон и вершин треугольника, а также свойства и признаки параллельных прямых. Без них трудно распознать условие и обосновать вывод.
• Доказательство теоремы связано с подобием треугольников и пропорциональностью отрезков. Эти идеи объясняют одновременно параллельность средней линии и формулу её длины.
• Средняя линия пригодится при изучении трапеции, подобных фигур, координатных методов и задач на построение. Она позволяет заменять сложные рассуждения коротким вычислением или готовым признаком.

Что запомнить

• Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника.
• В треугольнике можно провести три средние линии.
• Средняя линия параллельна третьей стороне.
• Средняя линия равна половине третьей стороны.
• Третья сторона равна удвоенной средней линии.
• Три средние линии образуют треугольник, подобный исходному с коэффициентом 1/2.