§ 14. Средняя линия треугольника

Определения и обозначения

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Например, в треугольнике ABC отрезок MN соединяет точки M и N, расположенные на сторонах AB и AC. Такое определение позволяет отличить среднюю линию от любого другого отрезка внутри треугольника.

Середина стороны — точка, которая делит отрезок на две равные части. Поэтому для точки M на AB выполняется AM = MB, а для точки N на AC — AN = NC. Эти равенства нужны, чтобы убедиться: концы MN действительно находятся в серединах сторон.

Теорема о средней линии утверждает: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине её длины. Если MN соединяет середины AB и AC, то MN ∥ BC и MN = BC/2. Теорема одновременно даёт направление отрезка и способ найти его длину.

Как это устроено

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть M — середина AB, а N — середина AC; тогда отрезок MN и есть средняя линия. На чертеже точки M и N лежат на двух сторонах, а сторона BC остаётся третьей, то есть не содержит концов средней линии. Именно с BC сравниваются направление и длина MN.

Из того, что M и N — середины, получаем AM = AB/2 и AN = AC/2. Следовательно, AM/AB = AN/AC = 1/2. Две стороны треугольника AMN пропорциональны двум сторонам треугольника ABC, а угол A у них общий, поэтому треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.

Подобие показывает, что соответствующие углы равны. Угол AMN равен углу ABC, а угол ANM равен углу ACB, поэтому линии MN и BC имеют одинаковое направление и не пересекаются. Значит, MN ∥ BC; так параллельность следует не из одного чертежа, а из равенства отношений сторон.

Из подобия также следует равенство отношений соответствующих сторон: MN/BC = AM/AB = 1/2. Умножая обе части на BC, получаем MN = BC/2. Поэтому для нахождения средней линии достаточно разделить длину третьей стороны на два, а для нахождения третьей стороны — удвоить длину средней линии.

Теорему можно использовать и в обратную сторону. Если через середину AB провести прямую, параллельную BC, и она пересечёт AC в точке N, то N окажется серединой AC. Это позволяет доказывать, что точка делит сторону пополам, даже если равенство отрезков заранее не дано.

У треугольника три стороны, поэтому можно соединить середины каждой пары сторон и получить три средние линии. Они образуют средний треугольник внутри исходного. Каждая его сторона параллельна одной стороне исходного треугольника и вдвое короче соответствующей стороны.

Средняя линия треугольника: определение и свойства

Сначала определите, какие две стороны соединяет данный отрезок: это помогает найти третью сторону. Затем проверьте условие о серединах и применяйте нужный вывод из таблицы. В задачах на длины используйте деление на два или обратное действие — умножение на два.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC точки M и N — середины AB и AC. Найдём MN, если BC = 14 см. Отрезок MN соединяет середины двух сторон, поэтому это средняя линия, а BC — третья сторона.

1. Применяем теорему: MN = BC/2.
2. Подставляем значение: MN = 14/2 = 7 см.
3. Проверяем смысл результата: средняя линия должна быть в два раза короче третьей стороны.

Ответ: MN = 7 см.

Задача 2

В треугольнике ABC точки M и N — середины AB и AC. Докажем, что MN параллельна BC. Одного изображения недостаточно, поэтому используем отношения сторон и подобие.

1. Так как M и N — середины, AM/AB = 1/2 и AN/AC = 1/2.
2. Следовательно, AM/AB = AN/AC, а угол MAN совпадает с углом BAC.
3. Треугольники AMN и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Из равенства соответствующих углов получаем MN ∥ BC.

Ответ: MN параллельна BC.

Задача 3

Точка M — середина AB, через неё проведена прямая, параллельная BC, и она пересекает AC в N. Докажем, что N — середина AC, если AN = 6 см, и найдём AC.

1. Прямая проходит через середину AB и параллельна BC, поэтому по обратной теореме N — середина AC.
2. Значит, AN = NC, и каждый из этих отрезков равен 6 см.
3. Складываем части стороны: AC = AN + NC = 6 + 6 = 12 см.

Ответ: N — середина AC; AC = 12 см.

Типичные ошибки

Называть средней линией любой отрезок внутри треугольника — ошибка. Его концы обязательно должны быть серединами двух сторон, то есть должны выполняться равенства AM = MB и AN = NC. Проверьте положение обеих точек и равенство частей.

Иногда средней линии приписывают параллельность стороне, которую она соединяет. На самом деле она параллельна третьей стороне: если MN соединяет стороны AB и AC, то сравнивать нужно с BC. Полезно сначала назвать две стороны с концами отрезка, а затем исключить их.

Ещё одна ошибка — считать, что средняя линия равна третьей стороне или вдвое больше неё. Теорема даёт MN = BC/2, потому что коэффициент подобия от меньшего треугольника к большему равен 1/2. Проверьте ответ: третья сторона должна быть вдвое длиннее средней линии.

Нельзя применять обратное утверждение, если не указана параллельность. Одного факта, что точка лежит на стороне, недостаточно для вывода о её середине. Убедитесь, что прямая проходит через известную середину и параллельна другой стороне треугольника.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно уметь находить середину отрезка, распознавать параллельные прямые и работать с отношениями сторон подобных треугольников. Именно эти знания объясняют оба свойства средней линии, а не только помогают запомнить формулу.

Теорема пригодится в задачах на параллельность и длины отрезков. Позже она будет связана с подобными треугольниками и свойствами трапеции, где также используются параллельные стороны и отношения длин.

Что запомнить

• Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон.
• В треугольнике три средние линии.
• Средняя линия параллельна третьей стороне.
• Средняя линия равна половине третьей стороны.
• Прямая, проведённая через середину одной стороны параллельно другой стороне, делит третью сторону пополам.