§ 15. Свойство медиан треугольника

Определения и обозначения

Медиана треугольника — отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Середину стороны отмечают так, чтобы два получившихся отрезка были равны, например BM = MC. Это определение помогает проверить, является ли данный отрезок медианой: нужно найти его начало и проверить, куда он приходит.

Из каждой вершины треугольника можно провести свою медиану. В треугольнике ABC обычно обозначают AM, BN и CP: точки M, N и P — середины сторон BC, AC и AB соответственно. Такая запись показывает, к какой стороне направлена каждая медиана. Не путай медиану с высотой или биссектрисой: у них другие определяющие свойства.

Центр тяжести треугольника — точка пересечения его медиан. Если три медианы пересекаются в точке G, то G называют также точкой пересечения медиан. Это название удобно для задач, где нужно говорить об общей точке всех трёх отрезков, а не о середине какой-либо стороны.

Точка пересечения делит медиану на части: от вершины до G и от G до середины противоположной стороны. Например, если AM — медиана, то её части — AG и GM. Названия частей задают порядок в записи отношения: сначала отрезок у вершины, затем отрезок у стороны.

Как это устроено

Чтобы провести медиану к стороне BC, сначала находят её середину M. Тогда BM и MC равны, а соединение M с противоположной вершиной A даёт отрезок AM. Именно равенство частей стороны, а не направление или длина отрезка, служит основанием назвать AM медианой. Поэтому в задачах удобно сначала проверить, что точка действительно середина стороны.

У треугольника три вершины, и из каждой можно провести отрезок к середине стороны напротив. Так получаются AM, BN и CP. Медиану отличают от высоты и биссектрисы по её концу: высота опускается перпендикулярно стороне, а биссектриса делит угол пополам. Медиана же делит пополам именно противоположную сторону, но не обязана быть перпендикулярной ей или делить угол вершины.

Три медианы пересекаются в одной точке — это общее свойство медиан любого треугольника. Следовательно, достаточно найти точку пересечения двух медиан: третья тоже пройдёт через неё. Такой результат позволяет обозначить общую точку одной буквой, например G, и использовать её в рассуждениях о каждой медиане. Это упрощает чертёж и помогает связывать отрезки, лежащие на разных медианах.

На любой медиане точка G находится между вершиной и серединой противоположной стороны. Например, на медиане AM отрезок AG идёт от вершины A до G, а GM — от G до середины M. Поэтому вся медиана складывается из этих частей: AM = AG + GM. Такое разложение нужно, когда известна длина всей медианы или одной её части.

Свойство медиан утверждает, что часть от вершины вдвое длиннее части до середины стороны: AG = 2GM. Значит, при записи от вершины к стороне отношение AG:GM равно 2:1. Вся медиана состоит из трёх одинаковых по длине долей: две приходятся на AG, одна — на GM. Поэтому, если известна короткая часть, её утраивают для всей медианы, а если известна длинная, делят её пополам, чтобы найти короткую.

Основные свойства медиан треугольника

При решении задачи найди в таблице объект, о котором говорится в условии, и выбери соответствующее свойство. Затем соотнеси буквы с чертежом: особенно проверь, какая часть лежит у вершины. Если нужно найти всю медиану, сложи её части, а если одну часть — используй отношение 2:1.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. Объяснить, почему AM является медианой. Здесь уже названа вершина A и указана середина стороны BC, противоположной этой вершине. Осталось сопоставить данные с определением медианы.

1. Отрезок AM начинается в вершине A треугольника ABC.
2. Точка M лежит на противоположной стороне BC и является её серединой, поэтому BM = MC.
3. Значит, AM соединяет вершину с серединой противоположной стороны и по определению является медианой.

Ответ: AM — медиана треугольника ABC.

Задача 2. В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке G. Если AG = 8 см, найти GM, где AM — медиана. Даны две части одной медианы, причём AG — часть от вершины, а GM — оставшаяся. Применим свойство деления медианы в отношении 2:1.

1. Запишем соотношение для медианы AM: AG = 2GM.
2. Подставим AG = 8 см: 8 = 2GM.
3. Разделим обе части равенства на 2 и получим GM = 4 см.

Ответ: GM = 4 см.

Задача 3. В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке G. Если GM = 3 см, найти AM и AG, где AM — медиана. GM — короткая часть медианы, а AG уходит от вершины, поэтому она вдвое длиннее. Полную длину AM найдём сложением двух частей.

1. По свойству медиан AG = 2GM, значит AG = 2 · 3 = 6 см.
2. Медиана AM состоит из отрезков AG и GM.
3. Складываем длины: AM = AG + GM = 6 + 3 = 9 см.

Ответ: AG = 6 см, AM = 9 см.

Типичные ошибки

Ошибка — называть медианой отрезок, проведённый из вершины к произвольной точке противоположной стороны. Её допускают, потому что отрезок визуально похож на медиану, но его конец может не быть серединой стороны. Проверь равенство частей стороны по обе стороны от конца отрезка: без него определение не выполнено.

Некоторые считают, что точка пересечения делит медиану пополам. Так могут подумать, потому что слово «середина» встречается в определении медианы, но оно относится к стороне, а не к медиане. Сверь длины частей: у вершины расположена часть вдвое длиннее, значит равными эти отрезки быть не могут.

В отношении 2:1 иногда переставляют части и записывают, что отрезок от вершины вдвое короче. Причина — неуказанный порядок: само отношение зависит от того, какие отрезки сравнивают первыми. Подпиши их на чертеже и записывай сначала часть от вершины до точки пересечения, затем часть до середины стороны.

Ещё одна ошибка — считать, что центр тяжести делит стороны треугольника пополам. Это возникает из-за того, что медиана заканчивается в середине стороны, а её точка пересечения расположена на том же отрезке. Проверь, какая точка лежит на стороне: её середина — конец медианы, а центр тяжести находится внутри треугольника на медиане.

Связь с другими темами

Для работы с медианами нужно знать, что такое середина отрезка: она делит его на две равные части. Также пригодятся обозначения вершин и сторон треугольника, чтобы правильно определить противоположную сторону. Если умеешь сравнивать равные отрезки, то сможешь проверять, действительно ли конец отрезка является серединой стороны.

Свойство медиан используют, когда в треугольнике известна длина всей медианы или одной из её частей. Отношение 2:1 помогает находить неизвестные отрезки без измерений на чертеже. Такие задачи связаны с вычислениями отношений и сложением частей отрезка.

Что запомнить

• Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• У треугольника три медианы.
• Все три медианы пересекаются в одной точке.
• Точка пересечения медиан лежит на каждой медиане.
• Точка пересечения делит медиану в отношении 2:1.
• Часть медианы от вершины до точки пересечения вдвое длиннее оставшейся части.