"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Она проходит внутри трапеции параллельно обоим основаниям, поэтому помогает связать их длины. Главное свойство: длина средней линии равна полусумме оснований. Если известны средняя линия и одно основание, второе можно найти вычитанием известного основания из удвоенной средней линии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называют основаниями, а две другие — боковыми сторонами. Такое разделение нужно, чтобы правильно применять свойства трапеции.
Основания трапеции — её параллельные стороны. Их длины обычно обозначают буквами a и b. Эти два числа участвуют в главной формуле темы, поэтому важно не перепутать основания с боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Середина делит отрезок на две равные части. Это определение позволяет проверить, можно ли применять теорему и формулу к данному отрезку.
Если M и N — середины боковых сторон, среднюю линию обозначают MN, а её длину — буквой m. На чертеже M и N лежат на боковых сторонах, а отрезок MN проходит внутри трапеции. Такое обозначение помогает отделить сам отрезок от его числовой длины.
Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, где AD параллельна BC. Пусть M и N — середины боковых сторон AB и CD. Отрезок MN соединяет точки на боковых сторонах и проходит между основаниями, поэтому на чертеже он располагается внутри трапеции.
Чтобы объяснить параллельность, продолжим боковые стороны AB и CD до пересечения в точке E. Получится треугольник EAD, внутри которого расположены точки M и N. Линия через M, параллельная AD, по теореме о средней линии треугольника пересечёт вторую сторону в её середине; этой точкой как раз является N, поэтому MN параллельна AD, а значит, и BC.
Та же теорема даёт длину отрезка в построенном треугольнике: отрезок, соединяющий середины двух сторон, равен половине третьей стороны. В нашем случае промежуточный отрезок связан с двумя параллельными основаниями трапеции. Если одно основание имеет длину a, а другое — b, то длина средней линии получается как половина их общей длины.
Следовательно, средняя линия трапеции параллельна обоим основаниям и равна их полусумме: m = (a + b) / 2. Это теорема о средней линии трапеции. Она позволяет решать как прямые задачи на нахождение m, так и обратные задачи на поиск основания.
Формулу можно преобразовать, если известны m и одно основание. Умножим равенство на 2: 2m = a + b. Поэтому неизвестное основание равно 2m минус известное основание, например b = 2m − a.
| Элемент или свойство | Что нужно указать |
|---|---|
| Определение средней линии | Отрезок, соединяющий середины боковых сторон |
| Какие стороны соединяет | Середины двух боковых сторон трапеции |
| Параллельность основаниям | Средняя линия параллельна обоим основаниям |
| Связь длины с основаниями | Равна полусумме длин оснований |
| Формула для нахождения средней линии | m = (a + b) / 2 |
| Формула для нахождения неизвестного основания | b = 2m − a или a = 2m − b |
Таблица помогает быстро отличить определение от свойств средней линии. Сначала проверьте положение её концов, затем выберите формулу по известным величинам. В обратной формуле сначала находят сумму оснований 2m, а потом вычитают известное основание.
Задача 1. Основания трапеции равны 8 см и 14 см. Найдём длину средней линии. Здесь известны оба основания, поэтому используется формула полусуммы.
Ответ: длина средней линии равна 11 см.
Задача 2. Средняя линия равна 11 см, одно основание — 7 см. Требуется найти второе основание. Неизвестное основание удобнее находить через равенство суммы оснований и удвоенной средней линии.
Ответ: второе основание равно 15 см.
Задача 3. В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, а M и N — середины боковых сторон AB и CD. Нужно доказать, что MN параллельна основаниям, и найти MN, если AD = 18 см, BC = 10 см. В условии прямо указано, что M и N являются серединами боковых сторон, поэтому теорему можно применять.
Ответ: MN параллельна основаниям, а её длина равна 14 см.
Иногда средней линией называют отрезок, соединяющий середины оснований. Так происходит из-за слова средняя, хотя по определению соединяются середины боковых сторон. Проверьте себя: оба конца отрезка должны лежать на боковых сторонах.
Другая ошибка — считать среднюю линию суммой или разностью оснований. Причина обычно в том, что ученик забывает о слове полусумма. Запишите формулу полностью: m = (a + b) / 2.
Нельзя делить на 2 только одно основание. Сначала складывают длины обоих оснований, и только потом делят полученную сумму пополам. Полезная проверка: средняя линия должна быть не меньше меньшего основания и не больше большего.
Формулу применяют и к отрезку, концы которого не являются серединами боковых сторон. В таком случае теорема о средней линии не подходит. Перед вычислениями найдите в условии или докажите, что обе точки действительно делят боковые стороны пополам.
До изучения темы нужно знать определение трапеции и уметь отличать её основания от боковых сторон. Без этого легко выбрать неправильные отрезки в формуле. Полезно также повторить понятие параллельных прямых.
Доказательство опирается на теорему о средней линии треугольника. Поэтому нужно уметь находить середину отрезка и распознавать треугольник, в котором применима эта теорема.
Формула средней линии пригодится при вычислении площади и периметра трапеции. Она также встречается в задачах на подобие треугольников и пропорциональные отрезки.
Какие стороны трапеции соединяет средняя линия?
Средняя линия соединяет середины боковых сторон трапеции. Она не соединяет середины оснований.
Почему средняя линия параллельна основаниям?
Это следует из теоремы о средней линии треугольника. После построения вспомогательного треугольника отрезок, соединяющий нужные середины, оказывается параллельным его основанию, а значит, и основаниям трапеции.
Как найти длину средней линии, если известны основания?
Сложите длины оснований и разделите сумму на 2. Формула имеет вид m = (a + b) / 2.
Как найти основание трапеции, если известны средняя линия и другое основание?
Сначала удвойте длину средней линии: a + b = 2m. Затем вычтите из полученного числа известное основание.
Может ли средняя линия быть равна одному из оснований?
Да, если одно из оснований в два раза больше другого. Например, при основаниях 6 см и 18 см средняя линия равна 12 см, то есть не совпадает с ними; равенство одному основанию возможно, например, при основаниях 8 см и 16 см.
§ 16. Средняя линия трапеции
