85. Средняя линия трапеции

Определения и обозначения

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Например, если в четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, то ABCD — трапеция. Это определение помогает отличить трапецию от других четырёхугольников и увидеть, какие стороны связаны особым свойством.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. В трапеции ABCD с AB ∥ CD основаниями будут AB и CD, а боковыми сторонами — AD и BC. Такое разделение нужно, чтобы правильно применять свойства трапеции и не путать стороны при вычислениях.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Если M — середина AD, а N — середина BC, то MN — средняя линия ABCD. Середина отрезка делит его на две равные части, поэтому точки M и N находятся на одинаковом расстоянии от концов соответствующих боковых сторон; это определение указывает, какой именно отрезок нужно исследовать.

Как это устроено

Для чертежа можно взять трапецию ABCD, где AB и CD — основания, а AD и BC — боковые стороны. Отметим середины M и N боковых сторон и проведём между ними отрезок MN. Обозначим длины оснований буквами a и b, а длину средней линии — m. Такая запись позволит описать свойство короткой формулой, независимо от названий и размеров конкретной трапеции.

Чтобы разобраться в связи MN с основаниями, проведём диагональ AC. Она разделит трапецию на треугольники ABC и ACD, а точка M уже является серединой стороны AD. Обозначим через P середину диагонали AC. Получится, что в каждом из двух треугольников есть отрезок, соединяющий середины двух сторон: MP в треугольнике ACD и PN в треугольнике ABC.

По теореме о средней линии треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне. Поэтому MP ∥ CD, а PN ∥ AB. Так как основания AB и CD параллельны друг другу, оба отрезка MP и PN лежат на одной прямой через P; вместе они образуют MN. Значит, средняя линия трапеции параллельна каждому из оснований.

Та же теорема сообщает и длины частей средней линии: MP = CD / 2, а PN = AB / 2. Точка P лежит между M и N, поэтому MN = MP + PN. Если длины оснований обозначить a и b, то m = a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2. Так получается формула длины средней линии из свойств двух треугольников, а не только из наблюдения на чертеже.

Формула m = (a + b) / 2 означает, что нужно сложить длины обоих оснований и разделить полученную сумму на два. Это полусумма двух оснований, а не половина длины одного из них. Например, если основания не равны, результат будет между их длинами: средняя линия не может оказаться длиннее большего основания или короче меньшего.

Средняя линия трапеции

В таблице собраны названия частей трапеции и главное свойство средней линии. Сначала определите, какие стороны параллельны: это основания, остальные стороны — боковые. Затем используйте формулу или параллельность в зависимости от того, что требуется найти в задаче.

Разбор задач

Задача 1. Основания трапеции равны 8 см и 14 см. Найдите длину её средней линии.
Решение:

1. Обозначим основания: a = 8 см, b = 14 см.
2. Подставим длины в формулу средней линии: m = (a + b) / 2 = (8 + 14) / 2.
3. Сначала сложим основания, затем разделим сумму на два: m = 22 / 2 = 11 см.

Ответ: 11 см. Средняя линия оказалась между основаниями по длине, что служит проверкой вычисления.

Задача 2. Средняя линия трапеции равна 11 см, одно основание — 7 см. Найдите второе основание.
Решение:

1. Запишем формулу и подставим известные величины: 11 = (7 + b) / 2.
2. Умножим обе части равенства на два: 22 = 7 + b. Удвоение нужно, чтобы убрать деление суммы оснований на два.
3. Вычтем 7: b = 22 − 7 = 15 см.

Ответ: 15 см. Проверка: (7 + 15) / 2 = 11 см.

Задача 3. Средняя линия равна 12 см, одно основание на 6 см длиннее другого. Найдите основания.
Решение:

1. По формуле полусуммы сумма оснований равна 2 · 12 = 24 см.
2. Пусть меньшее основание равно x см. Тогда большее равно x + 6 см, потому что разность длин составляет 6 см.
3. Составим уравнение для суммы: x + (x + 6) = 24. Получим 2x = 18, значит, x = 9.
4. Большее основание равно 9 + 6 = 15 см.

Ответ: 9 см и 15 см. Проверим условия: их полусумма равна 12 см, а разность равна 6 см.

Типичные ошибки

Ошибочно называть средней линией отрезок, соединяющий середины оснований. Так могут решить, что достаточно ориентироваться на слово «средняя» или на середины любых сторон. По определению средняя линия соединяет середины боковых сторон. Проверьте, лежат ли концы выбранного отрезка именно на боковых сторонах.

Среднюю линию иногда считают параллельной боковым сторонам, потому что её концы находятся на них. Но положение концов не задаёт направление всего отрезка: доказательство показывает, что он параллелен основаниям. Для самопроверки вспомните, какие стороны трапеции параллельны, и соотнесите с ними направление средней линии.

При вычислении длины можно разделить на два только одно основание, забыв второе. Такая ошибка появляется, если формулу m = (a + b) / 2 читают как «половина основания». Сначала сложите оба основания и только потом делите сумму на два. Подстановка результата обратно в формулу покажет, верно ли учтены обе длины.

При поиске неизвестного основания иногда сразу вычитают известное основание из средней линии. Это неверно: средняя линия равна половине суммы оснований, поэтому сначала нужно получить всю сумму — умножить m на два. Затем из суммы вычитают известное основание; проверка состоит в том, чтобы снова получить исходную среднюю линию по формуле.

Связь с другими темами

Чтобы работать со средней линией, нужно знать определение трапеции и различать её основания и боковые стороны. Также понадобится понятие середины отрезка: каждая точка, где заканчивается средняя линия, делит боковую сторону на две равные части. Если определить стороны неправильно, легко выбрать не тот отрезок.

Доказательство опирается на теорему о средней линии треугольника. Диагональ делит трапецию на два треугольника, и в каждом отрезок между серединами двух сторон параллелен третьей стороне и равен её половине. Сложение этих частей объясняет и параллельность, и формулу длины средней линии.

Формула средней линии пригодится в задачах, где нужно найти элементы трапеции по известным длинам. Она также связана с вычислением площади: площадь трапеции можно выразить через среднюю линию и высоту. Поэтому умение находить m помогает переходить от свойств сторон к решению более сложных задач.

Что запомнить

• Средняя линия трапеции соединяет середины её боковых сторон.
• Средняя линия параллельна обоим основаниям.
• Длина средней линии равна полусумме оснований.
• Формула средней линии: m = (a + b) / 2.
• Если известны средняя линия и одно основание, второе основание равно 2m минус известное основание.