"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Средняя линия трапеции — отрезок, который соединяет середины её боковых сторон. Она помогает находить длины и доказывать параллельность: средняя линия параллельна обоим основаниям, а её длина равна полусумме их длин. Поэтому, зная два основания, можно вычислить среднюю линию, а по ней и одному основанию — найти другое. Главное — не перепутать боковые стороны с основаниями и проверить, что концы отрезка являются именно серединами боковых сторон.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Например, если M и N — середины боковых сторон AB и CD, то отрезок MN является средней линией. Это определение помогает отличить её от любого другого отрезка, проведённого внутри трапеции. По средней линии можно устанавливать параллельность сторон и вычислять длины.
Основания трапеции — её параллельные стороны; у трапеции два основания. Обычно их обозначают, например, AD и BC. Именно длины оснований нужны для вычисления длины средней линии. Поэтому перед решением задачи важно определить, какие стороны параллельны.
Боковые стороны трапеции — стороны, соединяющие основания. В трапеции их тоже две, и они не являются основаниями. Середины для построения средней линии ищут именно на боковых сторонах. Это уточнение не позволяет перепутать нужные точки с серединами параллельных сторон.
Середина стороны — точка, делящая отрезок на два равных отрезка. Если M — середина AB, то AM = MB; аналогично для второй боковой стороны. Концы средней линии лежат в серединах боковых сторон, поэтому для проверки достаточно убедиться в этих двух равенствах. Так определение превращается в понятный способ распознать среднюю линию.
Чтобы построить среднюю линию, сначала найдите середину одной боковой стороны, затем середину другой и соедините полученные точки. Середину можно отметить линейкой, разделив длину стороны пополам, или установить по условию задачи. Нельзя брать середины оснований: отрезок между ними не отвечает определению. Построение опирается на положение боковых сторон, а не на то, как отрезок выглядит внутри трапеции.
Параллельность средней линии основаниям можно объяснить с помощью диагонали. Обозначим трапецию ABCD так, что AD и BC — основания, а M и N — середины AB и CD; проведём диагональ AC. Через M проведённая средняя линия треугольника ABC параллельна BC, потому что соединяет середины AB и AC. Но M и N — середины боковых сторон трапеции, и применение теоремы в двух треугольниках показывает, что MN имеет направление оснований; следовательно, MN параллельна AD и BC. Диагональ нужна как вспомогательный отрезок: она позволяет применить известную теорему о треугольнике.
Для длины удобно снова рассмотреть диагональ AC. Пусть средняя линия MN пересекает её в точке P. В треугольнике ABC отрезок MP соединяет середины AB и AC, поэтому MP = BC / 2. В треугольнике ACD отрезок PN соединяет середины AC и CD, поэтому PN = AD / 2. Складывая части MN, получаем MN = MP + PN = BC / 2 + AD / 2 = (AD + BC) / 2.
Если длина средней линии и одно основание известны, формулу можно использовать в обратном направлении. При m = (a + b) / 2 умножьте обе части равенства на 2: 2m = a + b. Затем вычтите известное основание, и останется искомое: b = 2m − a. Такой порядок действий помогает не перепутать, нужно ли складывать основания или вычитать одно из удвоенной средней линии.
В доказательстве свойство применяют после проверки определения. Сначала указывают, что концы рассматриваемого отрезка — середины двух боковых сторон трапеции. Значит, этот отрезок является её средней линией. Теперь можно заключить, что он параллелен основаниям, а его длина равна их полусумме; без проверки середин применять теорему нельзя.
| Что рассматриваем | Как определяется или находится | Свойство |
|---|---|---|
| Концы средней линии | Середины двух боковых сторон | Отрезок соединяет эти середины |
| Положение средней линии относительно оснований | Провести отрезок между серединами боковых сторон | Параллельна обоим основаниям |
| Длина средней линии | Сложить длины оснований и разделить на 2 | m = (a + b) / 2 |
| Нахождение неизвестного основания | Удвоить среднюю линию и вычесть известное основание | b = 2m − a |
Сначала выберите в таблице, что требуется найти или доказать, а затем проверьте, какие данные уже известны. Для вычислений подставляйте в формулу длины оснований, а не боковых сторон. Если требуется доказать параллельность, сначала установите, что отрезок соединяет середины боковых сторон.
В трапеции ABCD основания AD и BC. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD. Объясните, почему MN является средней линией. Нужно сверить условие с определением, а не опираться только на расположение отрезка на чертеже. Основания здесь AD и BC, поэтому боковые стороны — AB и CD.
Ответ: MN — средняя линия трапеции ABCD.
Основания трапеции равны 8 см и 14 см. Найдите длину её средней линии. Поскольку даны оба основания, нужно воспользоваться формулой полусуммы. Сначала складываем длины, затем делим результат на два.
Ответ: 11 см. Проверка: средняя линия получилась между длинами оснований 8 см и 14 см, что согласуется с формулой полусуммы.
Средняя линия трапеции равна 11 см, одно основание — 7 см. Найдите другое основание и обоснуйте, почему средняя линия параллельна обоим основаниям. Здесь есть две отдельные цели: вычислить длину и указать геометрическое свойство. Для вычисления сначала составим уравнение, а параллельность обоснуем теоремой.
Ответ: второе основание равно 15 см; средняя линия параллельна обоим основаниям.
Первая ошибка — называть средней линией любой отрезок внутри трапеции. Так можно подумать, если отрезок расположен примерно посередине фигуры, но внешнего вида недостаточно. Проверьте, лежат ли его концы в серединах боковых сторон. Если хотя бы одна точка не делит соответствующую сторону пополам, это не средняя линия.
Вторая ошибка — соединять середины оснований. Вероятно, её допускают потому, что в определении встречаются стороны трапеции, а основания заметнее на рисунке. Однако концы средней линии должны лежать на боковых сторонах, которые соединяют основания. Перед построением назовите обе пары сторон и убедитесь, что отмечаете середины именно боковых.
Третья ошибка — считать длину средней линии суммой или разностью оснований. Сумму нужно не просто записать, а разделить на два: средняя линия равна полусумме. Чтобы проверить вычисление, подставьте ответ в формулу m = (a + b) / 2. Например, для оснований 8 и 14 ответом будет 11, а не 22 и не 6.
Четвёртая ошибка — утверждать, что средняя линия параллельна только одному основанию. Иногда это происходит, если при доказательстве вспомнили лишь одну часть рассуждения. Теорема утверждает параллельность обоим основаниям, а основания сами параллельны друг другу. Проверьте формулировку вывода и назовите оба основания.
Для изучения средней линии нужно знать, что такое трапеция, какие её стороны являются основаниями и боковыми сторонами, а также что значит середина отрезка. Это позволяет правильно построить отрезок и проверить его концы. В доказательстве понадобится теорема о средней линии треугольника и умение работать с параллельными прямыми. В дальнейшем свойство средней линии помогает находить длины отрезков в задачах о трапециях и доказывать параллельность.
Какие стороны трапеции называют основаниями?
Основаниями называют две параллельные стороны трапеции. Две другие стороны, соединяющие основания, называются боковыми.
Как провести среднюю линию трапеции?
Найдите середины обеих боковых сторон — точки, которые делят каждую сторону пополам. Затем соедините эти точки отрезком.
Почему средняя линия параллельна основаниям?
Проведите диагональ трапеции: она разделит её на два треугольника. В каждом можно применить теорему о средней линии треугольника, а полученные параллельные отрезки лежат на одной прямой средней линии трапеции.
Как найти длину средней линии по основаниям?
Сложите длины двух оснований и разделите сумму на 2. Если основания равны a и b, то средняя линия равна (a + b) / 2.
Как найти основание, если известны средняя линия и другое основание?
Умножьте длину средней линии на 2, а затем вычтите известное основание. Например, если средняя линия равна 11 см, а одно основание — 7 см, то второе равно 2 · 11 − 7 = 15 см.
60. Средняя линия трапеции
