61. Теорема Фалеса

Определения и обозначения

Теорема Фалеса утверждает: если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной стороне равные отрезки, то на другой стороне они отсекают равные отрезки. Иными словами, равное деление на одном луче переносится на другой. Теорема нужна для сравнения отрезков и для геометрических построений.

Секущие — прямые, пересекающие несколько параллельных прямых; в рассматриваемой конфигурации это стороны угла. Они показывают, на каких линиях сравниваются отрезки. Без двух секущих нельзя говорить о переносе деления с одной стороны на другую.

Соответствующие отрезки — отрезки на разных секущих, заключённые между одними и теми же параллельными прямыми. Например, если отрезок на одном луче расположен между первой и второй параллелями, ему соответствует отрезок на другом луче между этой же парой. Это правило помогает не сравнить случайно части, расположенные в разных промежутках.

Пропорциональное деление отрезка — деление отрезка на части, длины которых относятся как заданные числа. Так, отношение 2:3 означает, что первая часть состоит из двух одинаковых единиц длины, а вторая — из трёх. Такое построение удобно, когда нужно найти точку, делящую отрезок не пополам.

Как это устроено

Чтобы построить конфигурацию теоремы, на одной стороне угла сначала отмечают равные отрезки. Через их концы проводят параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла. Отметки разбивают первый луч на одинаковые промежутки, а проведённые параллели задают соответствующие промежутки на втором. Именно так создаются условия, при которых можно применить теорему.

Почему отрезки на второй стороне оказываются равными? Каждая пара соседних параллелей вместе с вершиной угла образует треугольник. Из-за параллельности соответствующие углы этих треугольников равны, а при общей вершине угла одинаков и угол при вершине. Поэтому получившиеся треугольники подобны: их соответствующие стороны относятся одинаково. Если на первом луче соседние отрезки равны, то один и тот же коэффициент подобия приводит к равенству соответствующих отрезков на втором луче.

Для деления отрезка на равные части к нему добавляют вспомогательный луч, выходящий из одного конца. На луче циркулем откладывают подряд нужное число одинаковых отрезков, а последнюю отметку соединяют со вторым концом исходного отрезка. Эта линия служит ориентиром для параллелей; она не обязана быть перпендикулярной отрезку. Важно, чтобы отрезки на вспомогательном луче были равными и их число совпадало с числом будущих частей.

Через промежуточные отметки вспомогательного луча проводят прямые, параллельные соединяющей линии. Они пересекут исходный отрезок и образуют на нём части, соответствующие равным отрезкам луча. По теореме Фалеса эти части равны, потому что параллельные прямые пересекают две секущие и на одной секущей отсекают одинаковые промежутки. Для деления в отношении сначала задают на вспомогательном луче части нужной длины, затем соединяют крайнюю отметку с концом исходного отрезка и проводят параллель через точку, соответствующую границе частей.

Теорема Фалеса и её применение

Сначала найди в условии две секущие и параллельные прямые, затем определи, какие промежутки соответствуют друг другу. Если требуется построение, проверь число отложенных частей и направление параллелей. Таблица подсказывает, какой вывод можно сделать или какие шаги выполнить.

Разбор задач

Задача 1. Стороны угла пересечены тремя параллельными прямыми. На одной стороне расстояния между соседними прямыми равны 3 см и 3 см. Нужно определить, что известно о соответствующих отрезках на другой стороне. Здесь важно не сравнивать отрезки, лежащие в разных промежутках, а сопоставить части между одной и той же парой параллелей.

1. Выделим две секущие — стороны угла; все три прямые параллельны между собой.
2. На первой стороне два отрезка между соседними параллелями имеют одинаковую длину: 3 см и 3 см.
3. По теореме Фалеса соответствующие им отрезки на второй стороне равны, поскольку параллельные прямые отсекают на одной секущей равные отрезки.

Ответ: соответствующие отрезки на другой стороне угла равны.

Задача 2. Разделите данный отрезок на пять равных частей циркулем и линейкой. Для построения не нужно измерять сам отрезок или подбирать расстояние на глаз: достаточно создать пять равных промежутков на вспомогательном луче. Параллельные линии перенесут это деление на исходный отрезок.

1. Обозначим концы отрезка A и B. Из точки A проведём вспомогательный луч, не лежащий на прямой AB.
2. Циркулем отложим на луче пять одинаковых отрезков подряд и обозначим последнюю отметку C.
3. Проведём прямую BC. Через четыре промежуточные отметки на луче построим параллели к BC.
4. Точки пересечения этих параллелей с AB разделят исходный отрезок на пять частей. По теореме Фалеса части равны, потому что на вспомогательном луче были отложены равные отрезки.

Ответ: точки пересечения параллелей с исходным отрезком дают требуемое деление на пять равных частей.

Задача 3. Разделите данный отрезок точкой в отношении 2:3. Отношение означает, что отрезок нужно разбить на пять одинаковых условных единиц: две для одной части и три для другой. Поэтому построение похоже на деление на равные части, но параллель проводят через особую отметку.

1. Из конца A исходного отрезка проведём вспомогательный луч и отложим на нём пять равных отрезков.
2. Обозначим пятую отметку C и соединим её со вторым концом B исходного отрезка.
3. Через отметку после двух отрезков проведём прямую, параллельную BC. Её пересечение с AB и будет точкой деления.
4. По теореме Фалеса соответствующая доля исходного отрезка относится к оставшейся так же, как 2 к 3 на вспомогательном луче.

Ответ: точка пересечения делит отрезок в отношении 2:3.

Типичные ошибки

Первая ошибка — применять теорему к любым пересекающимся прямым, хотя в условии нет параллельности. Её допускают, потому что запоминают слова об отрезках, но забывают условие, которое связывает их длины. Перед выводом проверь, что одни и те же параллельные прямые пересекают обе секущие.

Вторая ошибка — сравнивать отрезки между разными парами параллелей. Обычно это случается, если не проследить, где начинаются и заканчиваются сравниваемые части. Проведи мысленно или на чертеже границы каждого промежутка и сопоставляй только отрезки между одной и той же парой параллельных прямых.

Третья ошибка при построении — провести через отметки на вспомогательном луче прямые не параллельно соединяющей линии. Тогда условия теоремы не выполнены и деление не переносится. Проверь построение угольником или способом построения параллельных прямых, а затем убедись, что каждая линия проходит через нужную отметку.

Четвёртая ошибка — перепутать число частей и число отметок. Для пяти частей нужно отложить именно пять равных отрезков на вспомогательном луче; промежуточных точек при этом будет четыре. Перед проведением параллелей пересчитай промежутки, а не только точки: число промежутков должно совпадать с требуемым числом частей.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужны знания о параллельных прямых, секущей и равных отрезках. Без них нельзя определить, выполнены ли условия и какие части сравнивать. Поэтому полезно сначала уверенно читать чертёж и отмечать на нём параллельность.

Теорема связана со свойствами углов при параллельных прямых: соответствующие и накрест лежащие углы равны. Эти свойства объясняют подобие треугольников, возникающих при пересечении сторон угла параллелями. Так геометрический вывод о равенстве отрезков опирается на знакомые свойства углов.

Дальше теорема пригодится в задачах на пропорциональные отрезки и при построениях циркулем и линейкой. Она позволяет делить отрезки, не измеряя их линейкой, а задавая нужные части на вспомогательном луче. Это полезный способ перейти от простого равного деления к делению в заданном отношении.

Что запомнить

• Теорема Фалеса связывает отрезки, отсекаемые параллельными прямыми на сторонах угла.
• Если на одной стороне угла отрезки равны, то на другой стороне соответствующие отрезки тоже равны.
• Для применения теоремы важно правильно определить соответствующие отрезки.
• Проведение параллелей позволяет перенести равное деление с вспомогательного луча на исходный отрезок.
• Чтобы разделить отрезок на n равных частей, на вспомогательном луче откладывают n равных отрезков.
• Деление в заданном отношении строят, откладывая на вспомогательном луче части с этим отношением.