57. Теорема Фалеса

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Их обозначают знаком ∥: например, a ∥ b читают «прямая a параллельна прямой b». Это обозначение помогает сразу увидеть условие, от которого зависит применение теоремы Фалеса.

Пусть стороны угла исходят из вершины O, а параллельные прямые пересекают их в точках A, B на одной стороне и C, D на другой. Точки A и C принадлежат одной параллельной прямой, а B и D — другой; если параллельных прямых больше, точки располагаются на сторонах в соответствующем порядке. Так можно определить, какие отрезки образуют одну пару: например, AB и CD заключены между одними и теми же двумя параллельными прямыми.

Пропорциональными называют отрезки, отношения длин которых равны. Если соседним отрезкам AB и CD соответствуют EF и GH, то можно записать AB/EF = CD/GH; также допустимо записать AB/CD = EF/GH. Смысл определения в том, что длины меняются в одинаковое число раз, а равенство отношений позволяет найти неизвестный отрезок.

Как это устроено

Теорема Фалеса утверждает: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. Это значит, что отношение длин соседних отрезков на одной стороне равно отношению соответствующих отрезков на другой. Теорема работает и тогда, когда таких параллельных прямых больше двух.

Чтобы понять, какие отрезки сравнивать, отметь точки пересечения на обеих сторонах и упорядочь их, начиная от вершины угла. Отрезки между первой и второй параллельными прямыми соответствуют друг другу; так же сопоставляют отрезки между второй и третьей. Не нужно сравнивать отрезок от вершины с отрезком между параллельными прямыми: это разные части построения.

Параллельность нужна потому, что она задаёт одинаковые углы при пересечении прямых сторонами угла. Поэтому треугольники с общей вершиной и основаниями на параллельных прямых имеют одинаковую форму: их соответствующие стороны относятся одинаково. Если перейти от расстояний от вершины до параллельных прямых к разностям таких расстояний, получатся именно отрезки между соседними прямыми, и их отношения тоже окажутся равными.

Есть полезный частный случай: если параллельные прямые отсекают равные соседние отрезки на одной стороне угла, соответствующие отрезки на другой стороне также равны. По теореме отношения этих пар равны, а отношение равных отрезков равно 1. Значит, и отношение соответствующих отрезков на второй стороне равно 1, то есть их длины совпадают.

Для поиска неизвестной длины сначала установи соответствие отрезков, а затем запиши пропорцию в одном порядке. Например, если на одной стороне отрезки равны 3 и 5, а соответствующий первому отрезок на другой стороне равен 6, обозначь второй неизвестный через x. Тогда 3/5 = 6/x, откуда 3x = 30 и x = 10; при проверке отношения 3/5 и 6/10 совпадают.

Теорема Фалеса: условие и вывод

Сначала проверь условие в первой строке: без параллельности теорема неприменима. Затем найди отрезки, ограниченные одними и теми же параллельными прямыми, и сопоставь их. Последняя строка подсказывает, какое равенство отношений использовать для вычислений.

Разбор задач

Задача 1. Параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне соседние отрезки равны 3 см и 5 см, а на другой соответствующий первому отрезок равен 6 см. Найти второй отрезок. Здесь важен порядок: отрезку 3 см соответствует 6 см, а отрезку 5 см — искомая длина x.

1. Запишем пропорцию соответствующих отрезков: 3/5 = 6/x.
2. Перемножим крест-накрест: 3x = 5 · 6 = 30.
3. Разделим обе части равенства на 3: x = 10 см.

Ответ: 10 см. Проверка показывает, что 3/5 = 6/10, значит, отрезки пропорциональны.

Задача 2. Три параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне они отсекают от вершины два последовательных отрезка длиной 4 см и 7 см, на другой первый соответствующий отрезок равен 8 см. Нужно найти второй отрезок. Поскольку первым на обеих сторонах считается отрезок между одной и той же парой параллельных прямых, соответствие задано.

1. Обозначим второй отрезок на другой стороне через x.
2. Составим пропорцию: 4/7 = 8/x.
3. Перемножим крест-накрест: 4x = 56, поэтому x = 14 см.

Ответ: 14 см. Полученная длина больше 8 см, как и соответствующий ей отрезок 7 см больше 4 см, поэтому результат согласуется с пропорцией.

Задача 3. Параллельные прямые отсекают на одной стороне три последовательных отрезка длиной 2 см, 3 см и 5 см. На другой стороне первый соответствующий отрезок равен 4 см. Требуется найти два остальных. Для всех трёх пар действует один и тот же коэффициент пропорциональности.

1. Найдём коэффициент по первой паре: 4/2 = 2.
2. Умножим второй отрезок первой стороны на этот коэффициент: 3 · 2 = 6 см.
3. Так же найдём третий: 5 · 2 = 10 см.

Ответ: 6 см и 10 см. Проверка: отношения соответствующих длин равны 4/2 = 6/3 = 10/5 = 2.

Типичные ошибки

Ошибка — сравнивать отрезки, которые лежат между разными парами параллельных прямых. Её допускают, если смотрят только на близость к вершине, не отмечая границы отрезков. Проверь соответствие: обе сравниваемые части должны быть ограничены теми же двумя параллельными прямыми.

Иногда члены пропорции переставляют так, что в одном отношении сравнивают первый отрезок со вторым, а в другом — второй с первым. Тогда равенство может дать неверную длину. Перед вычислением подпиши пары и убедись, что в обоих отношениях отрезки стоят в одинаковом порядке.

Теорему применяют, не проверив, параллельны ли прямые и пересекают ли они обе стороны угла. Возможно, на схеме линии кажутся параллельными, но одного внешнего вида недостаточно: это свойство должно быть дано в условии или доказано. Проверь оба требования, прежде чем составлять пропорцию.

Наконец, длину отдельного отрезка путают с расстоянием от вершины до точки пересечения. Расстояние от вершины складывается из нескольких частей, а отрезок между соседними параллельными прямыми — только из одной. Обозначь на схеме нужные границы и проверь, не включил ли ты в длину лишнюю часть.

Связь с другими темами

Перед применением теоремы нужно уметь распознавать параллельные прямые, отмечать точки и обозначать отрезки. Также пригодится умение составлять и решать пропорции: именно через них находят неизвестные длины. Теорема Фалеса используется в задачах на подобие треугольников, где сравнивают стороны фигур одинаковой формы. Она помогает и при построении деления отрезка на равные части: параллельные линии позволяют перенести равные промежутки на другой отрезок.

Что запомнить

• Теорема Фалеса связывает параллельность прямых с пропорциональностью отрезков.
• Параллельные прямые должны пересекать обе стороны угла.
• Сравнивают соответствующие отрезки, образованные одними и теми же парами параллельных прямых.
• Равным отрезкам на одной стороне угла соответствуют равные отрезки на другой.
• Неизвестную длину в задаче находят, составив и решив пропорцию.