§ 15. Теорема Фалеса

Определения и обозначения

Теорема Фалеса утверждает: если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной стороне равные последовательные отрезки, то соответствующие отрезки на другой стороне тоже равны. Например, если на одной стороне угла отрезки между соседними параллельными прямыми одинаковы, такими же будут отрезки на второй стороне. Теорема нужна, чтобы обосновывать равенство частей и строить деление отрезков.

Параллельные прямые — прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются; обозначение a ∥ b читают «прямая a параллельна прямой b». В условии теоремы именно параллельность связывает отрезки, полученные на двух сторонах угла. Если прямые не параллельны, делать вывод о равенстве частей по этой теореме нельзя.

Соответственные отрезки — отрезки на разных сторонах угла, которые заключены между одной и той же парой соседних параллельных прямых. Первый такой отрезок на одной стороне сопоставляется с первым на другой, второй — со вторым и так далее. Это соответствие нужно, чтобы не сравнить части, расположенные на разном расстоянии от вершины.

Пропорциональные отрезки — отрезки, длины которых относятся друг к другу одинаково. При нескольких параллельных прямых соответствующие отрезки на сторонах угла пропорциональны: отношение двух частей на одной стороне равно отношению соответствующих частей на другой. Такое свойство расширяет применение теоремы и позволяет находить неизвестную длину, даже если исходные части не равны.

Как это устроено

Представь угол с вершиной O и несколько прямых, параллельных друг другу, которые пересекают обе его стороны. На первой стороне отметим точки A₁, A₂, A₃ по мере удаления от вершины, а на второй — B₁, B₂, B₃. Тогда отрезку A₁A₂ соответствует B₁B₂, а A₂A₃ — B₂B₃: каждую пару ограничивают одни и те же соседние параллельные прямые. Обозначения помогают видеть, какую именно часть нужно сравнивать.

Почему равенство частей переносится на другую сторону? Вершина угла и две параллельные прямые образуют треугольники, у которых углы при вершине общие, а остальные углы равны как соответственные при параллельных прямых. Поэтому треугольники подобны, то есть их соответствующие стороны имеют одинаковое отношение. Когда отрезки на одной стороне равны, этому отношению на второй стороне соответствуют равные отрезки. Так параллельность обеспечивает не просто похожее направление, а точную геометрическую связь длин.

Свойство используют, чтобы разделить отрезок на несколько одинаковых частей без измерения каждой части линейкой. Пусть нужно разделить AB на четыре части: из A проведи произвольный вспомогательный луч и отложи на нём четыре равных отрезка. Соедини четвёртую отметку с B, затем через первые три отметки проведи прямые, параллельные полученной линии. Параллельность создаёт условия теоремы Фалеса, поэтому эти прямые разделят AB на четыре равные части.

В обратной задаче известны длины некоторых соответствующих отрезков, а одну длину нужно найти. Если части на одной стороне не равны, применяют обобщённое свойство: отношения соответствующих отрезков равны, и из этого равенства составляют пропорцию. Например, отрезкам 3 см и 5 см на одной стороне соответствуют 6 см и x на другой, значит, отношение первой пары равно отношению второй. Решив пропорцию, получают неизвестную длину.

Перед решением проверь, что секущие прямые действительно параллельны: без этого нельзя ссылаться на теорему. Затем найди границы каждого отрезка и сопоставь части, лежащие между одной и той же парой параллельных прямых. Если записываешь пропорцию, сохраняй одинаковый порядок соответствующих величин: например, сначала меньшие по порядку отрезки, затем следующие. Такая проверка защищает от неверного уравнения даже при правильных вычислениях.

Теорема Фалеса: условие и применение

Сначала найди в таблице нужную ситуацию и проверь, какие условия уже известны. Затем отдели вывод теоремы от способа его применения: для построения нужны равные шаги, а для вычисления — соответствие отрезков и пропорция. Если параллельность не дана и не доказана, применять эти выводы нельзя.

Разбор задач

Задача 1. Параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне отрезки между соседними прямыми равны. Что можно заключить об отрезках между соседними прямыми на другой стороне? Здесь не требуется вычислять длины: нужно понять, какие части сопоставляются, и проверить условие теоремы.

1. Рассмотри пару соседних параллельных прямых и найди отрезки, которые они отсекают на обеих сторонах угла.
2. Сопоставь отрезки между одной и той же парой прямых; повтори это для каждой соседней пары.
3. По теореме Фалеса равным последовательным отрезкам на первой стороне соответствуют равные отрезки на второй.

Ответ: отрезки между соседними параллельными прямыми на другой стороне угла равны между собой.

Задача 2. Отрезок длиной 12 см нужно разделить на 4 равные части с помощью линейки и угольника. Построение должно опираться на теорему, поэтому равные шаги удобно сначала отложить не на самом отрезке, а на вспомогательном луче.

1. Обозначь исходный отрезок AB и проведи из точки A вспомогательный луч, не совпадающий с AB.
2. Отложи на луче подряд четыре равных отрезка: AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄.
3. Соедини A₄ с B. Через A₁, A₂ и A₃ проведи прямые, параллельные A₄B, используя угольник.
4. По теореме Фалеса эти параллельные прямые разделят AB на четыре равные части. Длина каждой части равна 12 : 4 = 3 см.

Ответ: построить три параллельные прямые через первые три отметки; получатся четыре части по 3 см.

Задача 3. Параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне соответствующие отрезки равны 3 см и 5 см, а на другой — 6 см и x см. Найди x. Части не равны между собой, поэтому нужно использовать пропорциональность соответствующих отрезков, а не утверждение об их равенстве.

1. Запиши пары в одном порядке: отрезку 3 см соответствует 6 см, а отрезку 5 см — x см.
2. Составь равенство отношений: 3 / 5 = 6 / x. Оно следует из пропорциональности соответствующих отрезков при параллельных прямых.
3. Перемножь крайние и средние члены: 3x = 5 · 6, поэтому 3x = 30 и x = 10.
4. Проверь результат: коэффициент перехода от первой стороны ко второй равен 6 / 3 = 2, значит, отрезок 5 см должен перейти в отрезок 10 см.

Ответ: x = 10 см.

Типичные ошибки

Первая ошибка — переставить соответствующие отрезки при составлении отношения. Так случается, когда ученик сравнивает части только по длине и забывает, между какими прямыми они расположены. Проверь, что каждый отрезок ограничен той же парой соседних параллельных прямых, что и его пара на другой стороне.

Вторая ошибка — применить теорему, не убедившись в параллельности прямых. Равенство отдельных отрезков само по себе не доказывает, что прямые параллельны, и не даёт права использовать теорему Фалеса. Перед решением найди это условие в задаче или обоснуй его отдельно.

Третья ошибка — перепутать отрезки между соседними параллельными прямыми с отрезками от вершины угла до прямых. Их границы различаются, поэтому они отвечают на разные вопросы. Отметь концы нужного отрезка и только после этого запиши его длину или обозначение.

Четвёртая ошибка — смешать стороны угла или изменить порядок членов только в одном отношении. Причина обычно в том, что пропорцию составляют по числам, не удерживая пары соответствующих частей. Сверь записи по порядку: первый отрезок одной стороны должен соответствовать первому другой, второй — второму; затем проверь вычисление обратной подстановкой.

Связь с другими темами

Для теоремы Фалеса нужны знания о параллельных прямых, углах и отрезках, а также умение отмечать равные части. Сама теорема даёт способ разделить отрезок на равные части и решать задачи на пропорциональные отрезки. Позже идея соответствия сторон и равенства отношений понадобится при изучении подобных треугольников. Поэтому внимательное сопоставление частей здесь пригодится и в следующих темах геометрии.

Что запомнить

• Теорема Фалеса связывает отрезки, полученные при пересечении сторон угла параллельными прямыми.
• Равным последовательным отрезкам на одной стороне соответствуют равные отрезки на другой.
• Параллельность — обязательное условие применения теоремы.
• Соответственные отрезки нужно сопоставлять в одном и том же порядке.
• Теорему используют для деления отрезка на равные части.
• В задачах на длины по соответствующим отрезкам составляют пропорцию.