57. Трапеция

Определения и обозначения

Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны. Например, если AB ∥ CD, а остальные стороны не параллельны, то ABCD — трапеция. Параллельность помогает отличить её от других четырёхугольников: у параллелограмма параллельны две пары сторон, а у трапеции — одна.

Основания трапеции — её параллельные стороны; боковые стороны — две непараллельные стороны. Поэтому при записи свойств сначала выясняют, какая пара сторон параллельна: именно она является основаниями. Это нужно, чтобы правильно применять формулы и не перепутать основания с боковыми сторонами.

Высота трапеции — перпендикуляр, проведённый из точки одного основания к прямой, содержащей другое основание. Перпендикуляр — отрезок, образующий с прямой угол 90°. Высоту обычно обозначают h; она задаёт расстояние между основаниями, даже если её основание попадает на продолжение стороны.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Если середины боковых сторон обозначены M и N, то MN — средняя линия. Она помогает связать длины оснований с длиной отрезка внутри трапеции и часто позволяет найти неизвестную сторону без дополнительных построений.

Как это устроено

У трапеции параллельны именно две противоположные стороны, а другая пара не параллельна. Если параллельны обе пары противоположных сторон, перед нами уже параллелограмм, а не трапеция по данному определению. Поэтому сначала отмечают параллельную пару и называют её основаниями: выбор важен, потому что высоту и среднюю линию определяют относительно оснований.

Высота измеряет кратчайшее расстояние между параллельными основаниями. Кратчайший отрезок от точки до прямой всегда перпендикулярен этой прямой, поэтому высота образует угол 90° с одним основанием. Поскольку второе основание параллельно первому, перпендикуляр к одному из них перпендикулярен и другому. Так высота показывает расстояние между основаниями, а не длину боковой стороны.

Боковая сторона пересекает два параллельных основания и потому является секущей. Углы, лежащие между параллельными прямыми по одну сторону секущей, называются односторонними внутренними; их сумма равна 180°. Значит, у каждой боковой стороны сумма двух прилежащих к ней углов равна 180°. Это свойство позволяет найти один такой угол, если известен другой.

Чтобы получить свойство средней линии, проведём диагональ трапеции. Средняя линия пересекает диагональ в её середине: это следует из теоремы о средней линии треугольника, по которой отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне. В каждом из образованных треугольников можно применить эту теорему; в итоге средняя линия параллельна основаниям, а её длина складывается из половин оснований. Поэтому m = (a + b) / 2.

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны. Симметричное расположение её боковых сторон объясняет равенство углов при каждом основании: два угла у одного основания равны между собой, и такая же пара равных углов есть у другого основания. Диагонали равнобедренной трапеции тоже равны. Эти признаки относятся именно к равнобедренной трапеции и не обязаны выполняться у любой трапеции.

Виды трапеций и их свойства

Сначала определи, рассматривается любая трапеция или равнобедренная: только во втором случае можно использовать равенство углов при основании и диагоналей. Свойства, указанные в обоих столбцах, подходят для обеих фигур. Для нахождения средней линии подставь длины оснований в формулу их полусуммы.

Разбор задач

В задачах на трапецию полезно сначала определить, какие углы или отрезки связаны одним свойством. Запишем решение каждого примера по шагам: так видно, почему выбирается именно эта формула или теорема. Обозначения оснований будем понимать как параллельные стороны.

Задача 1. В трапеции один из углов при боковой стороне равен 68°. Найдите второй угол при этой боковой стороне.

1. Обе искомые угла лежат при одной боковой стороне между параллельными основаниями.
2. По свойству односторонних внутренних углов их сумма равна 180°.
3. Второй угол равен 180° − 68° = 112°.

Ответ: 112°. Проверка: 68° + 112° = 180°, значит, сумма углов при боковой стороне соблюдена.

Задача 2. Основания трапеции равны 7 см и 13 см. Найдите её среднюю линию.

1. Средняя линия равна полусумме оснований, поэтому нужно сложить обе известные длины и разделить результат на 2.
2. Вычислим: (7 + 13) / 2 = 20 / 2 = 10 см.
3. Полученная длина находится между длинами оснований, что согласуется с тем, что это их среднее арифметическое.

Ответ: 10 см.

Задача 3. В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см. Найдите вторую диагональ и объясните, почему ответ верен.

1. Уточним условие: трапеция равнобедренная, поэтому можно применить свойство равенства её диагоналей.
2. Если одна диагональ равна 10 см, то и другая имеет ту же длину.
3. Свойство используется потому, что боковые стороны трапеции равны; для произвольной трапеции такой вывод делать нельзя.

Ответ: 10 см. Равенство диагоналей следует из того, что трапеция равнобедренная.

Типичные ошибки

Ошибка: называть основаниями боковые стороны. Так бывает, когда стороны выбирают по их расположению на рисунке, а не по определению. Основания — только параллельные стороны. Проверь себя: отметь параллельную пару, и именно её назови основаниями.

Ошибка: считать, что сумма четырёх углов трапеции равна 180°. Число 180° относится к двум углам при одной боковой стороне, а не ко всем четырём углам. У любого четырёхугольника сумма внутренних углов равна 360°. Для проверки сложи все четыре угла либо отдельно проверь каждую пару при боковой стороне.

Ошибка: складывать углы, которые не прилегают к одной боковой стороне. Это происходит, если ориентироваться на то, какие углы нарисованы рядом, а не на их положение относительно параллельных оснований и секущей. Сумма 180° гарантирована для односторонних внутренних углов при одной боковой стороне. Проведи мысленно или на чертеже путь вдоль этой стороны от одного основания к другому и выбери прилегающие к ней углы.

Ошибка: применять равенство диагоналей к любой трапеции. У произвольной трапеции диагонали могут иметь разную длину, поэтому такое действие необоснованно. Равными они являются у равнобедренной трапеции. Перед применением свойства проверь, сказано ли в условии, что боковые стороны равны или трапеция равнобедренная.

Связь с другими темами

Для изучения трапеции нужны свойства параллельных прямых: в частности, правило об односторонних внутренних углах, сумма которых равна 180°. Также следует помнить, что сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна 360°. Эти знания помогают находить углы и проверять, не противоречат ли вычисления условию задачи.

Средняя линия и высота трапеции пригодятся при решении задач на площади четырёхугольников. Средняя линия связывает два основания одной формулой, поэтому с ней удобно упрощать вычисления и доказательства. Свойства трапеции также используют в задачах, где нужно установить параллельность или найти неизвестную длину.

Что запомнить

• Основания трапеции параллельны, боковые стороны — нет.
• Сумма углов при каждой боковой стороне равна 180°.
• Высота трапеции перпендикулярна её основаниям.
• Средняя линия соединяет середины боковых сторон.
• Средняя линия параллельна основаниям.
• Длина средней линии равна полусумме оснований: m = (a + b) / 2.
• У равнобедренной трапеции равны углы при каждом основании и диагонали.