§ 8. Трапеция

Определения и обозначения

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Значит, у такой фигуры есть ровно одна пара параллельных противоположных сторон. Это помогает отличить трапецию от параллелограмма, у которого параллельны обе пары противоположных сторон. На чертеже сначала найди параллельные стороны — именно по ним распознают трапецию.

Основания трапеции — её параллельные стороны, а боковые стороны — две остальные стороны. Основания могут быть разной длины, и обычно одно располагается выше другого на чертеже. Боковые стороны соединяют концы оснований и не параллельны друг другу. Такое разделение нужно, чтобы точно говорить о свойствах углов, длинах и средней линии.

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны. Равенство относится именно к боковым сторонам, а не к основаниям. Такая трапеция обладает дополнительными свойствами: равны углы при каждом основании, а также диагонали. Поэтому, если в задаче дана равнобедренная трапеция, эти равенства можно использовать для решения.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Середина каждой боковой стороны делит её на два равных отрезка, а концы средней линии лежат на разных боковых сторонах. Этот отрезок не следует путать с основанием: обычно он проходит внутри трапеции. Его свойства позволяют находить длину по двум основаниям.

Как это устроено

Параллельность одной пары противоположных сторон — главный признак трапеции. Если на чертеже параллельны две пары противоположных сторон, перед нами уже параллелограмм, а не трапеция по принятому здесь определению. Поэтому нельзя определять трапецию только по внешнему виду: стороны могут казаться параллельными из-за рисунка. Нужно опираться на отметки параллельности или на условие задачи.

Рассмотрим одну боковую сторону: она пересекает два параллельных основания. Углы, лежащие внутри между основаниями по одну сторону от этой боковой стороны, являются односторонними. По свойству параллельных прямых их сумма равна 180°. Поэтому, если один из этих углов известен, второй находится вычитанием из 180°, независимо от того, равнобедренная трапеция или нет.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому фигура симметрична относительно прямой, перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины. Симметрия переводит один угол при основании в другой угол при том же основании, значит, эти углы равны. Она также переводит одну диагональ в другую, поэтому диагонали равны. Эти выводы помогают находить неизвестные углы и сравнивать диагонали.

Проведём диагональ трапеции и рассмотрим один из получившихся треугольников. Его вершины включают концы одного основания и одну вершину другого основания, а концы средней линии лежат на двух сторонах этого треугольника. Поскольку средняя линия трапеции проходит через середины боковых сторон, в рассматриваемом треугольнике она соединяет середины двух сторон. По теореме о средней линии треугольника этот отрезок параллелен третьей стороне, то есть основанию.

Та же теорема объясняет длину средней линии. В треугольнике отрезок, соединяющий середины двух сторон, равен половине третьей стороны; диагональ позволяет применить это к частям средней линии, связанным с обоими основаниями. В итоге её длина равна полусумме оснований: m = (a + b) / 2, где a и b — длины оснований. Например, если основания равны 14 см и 8 см, средняя линия равна (14 + 8) / 2 = 11 см.

Основные элементы и свойства трапеции

Сначала определи, к какому столбцу относится задача: свойства равнобедренной трапеции нельзя автоматически применять к любой трапеции. Затем найди нужную строку, чтобы выбрать подходящее равенство или формулу. Если в условии не сказано, что трапеция равнобедренная, считай верными только свойства из среднего столбца.

Разбор задач

Задача 1. В трапеции один из углов при боковой стороне равен 68°. Найдите второй угол при этой боковой стороне.

1. У основания параллельны, а боковая сторона пересекает их. Поэтому два угла при этой боковой стороне — односторонние углы.
2. Составим равенство для их суммы: 68° + x = 180°. Вычтем 68° из 180°: x = 112°.

Ответ: 112°. Перед вычислением важно уточнить, что речь идёт об углах при одной и той же боковой стороне: углы при разных боковых сторонах не обязаны составлять 180°.

Задача 2. Основания равнобедренной трапеции равны 14 см и 8 см. Найдите длину средней линии.

1. Средняя линия равна полусумме оснований, поэтому складываем их длины: 14 + 8 = 22 см.
2. Делим полученную сумму на два: 22 / 2 = 11 см. Равнобедренность для этой формулы не обязательна, но она не мешает её применить.

Ответ: 11 см. Проверка: длина средней линии должна быть между длинами оснований, и 11 см действительно больше 8 см, но меньше 14 см.

Задача 3. В трапеции основания равны 18 см и 10 см, а отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен 14 см. На сколько одна диагональ делит этот отрезок?

1. Проведём диагональ. Она образует два треугольника, в каждом из которых часть средней линии соединяет середины двух сторон.
2. По теореме о средней линии треугольника части отрезка равны половинам оснований: 18 / 2 = 9 см и 10 / 2 = 5 см.
3. Проверим: 9 + 5 = 14 см, то есть длина частей совпадает с длиной всей средней линии. Они отличаются на 9 − 5 = 4 см.

Ответ: на 4 см. Диагональ делит среднюю линию на отрезки, длины которых равны половинам оснований; поэтому для ответа достаточно сравнить эти половины.

Типичные ошибки

Ошибка: называть основаниями любые противоположные стороны. Так можно запутаться, если стороны не параллельны, ведь у трапеции основаниями являются только параллельные стороны. Ошибка возникает, когда стороны называют лишь по их расположению на рисунке. Проверь себя: отметь параллельные стороны и именно их назови основаниями.

Ошибка: считать трапецией четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон. Такой четырёхугольник является параллелограммом, а в принятом определении у трапеции параллельна только одна пара сторон. Путаница появляется из-за похожего вида фигур. Проверь обе пары противоположных сторон: если параллельны обе, это не трапеция.

Ошибка: при слове «равнобедренная» делать равными основания. Название относится к боковым сторонам, а основания могут быть разными по длине. Ошибку легко допустить, если перенести на трапецию свойства равнобедренного треугольника без проверки. Сверься с определением: равны именно две стороны, которые не параллельны.

Ошибка: записывать среднюю линию как сумму оснований без деления на два. Средняя линия равна полусумме, то есть половине суммы оснований: m = (a + b) / 2. Причина ошибки — забытый множитель ½ в формуле. Проверь результат: средняя линия должна быть по длине между основаниями, а не больше их суммы.

Связь с другими темами

Чтобы изучать трапецию, нужно знать признаки параллельности прямых и свойства углов при параллельных прямых. Именно они объясняют, почему углы при одной боковой стороне дают 180°. Теорема о средней линии треугольника помогает обосновать параллельность и длину средней линии трапеции, а также разбиение её диагональю. Эти знания пригодятся при вычислении площадей многоугольников и изучении других четырёхугольников.

Что запомнить

• У трапеции параллельна одна пара противоположных сторон.
• Параллельные стороны трапеции называются основаниями.
• Углы при каждой боковой стороне в сумме равны 180°.
• В равнобедренной трапеции боковые стороны равны.
• В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
• Диагонали равнобедренной трапеции равны.
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.