§ 9. Центральные и вписанные углы

Определения и обозначения

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Его стороны — радиусы, например OA и OB, а точки A и B делят окружность на две дуги. По центральному углу можно определить меру соответствующей дуги.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами. Например, в угле ACB отрезки CA и CB — хорды. Такой угол нужен, чтобы связывать углы на окружности с дугами.

Дуга окружности — часть окружности между двумя точками. Дугу AB можно обозначать символом ⌢AB, а если точек недостаточно для однозначного выбора, используют три буквы. Мера дуги равна мере соответствующего центрального угла.

Угол, опирающийся на дугу, — центральный или вписанный угол, стороны которого проходят через концы этой дуги. У центрального угла вершина находится в центре, а у вписанного — на окружности. Такое определение помогает правильно выбрать дугу в задаче.

Как это устроено

Мера дуги равна мере соответствующего центрального угла, потому что центральный угол показывает, какую часть полного оборота занимает дуга. Полный угол вокруг центра равен 360°, и вся окружность тоже соответствует 360°. Поэтому дуга, стягиваемая углом 84°, имеет меру 84°.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Если соединить центр с концами хорд, получится центральный угол, соответствующий той же дуге. Разбор получившихся равнобедренных треугольников показывает, что вписанный угол составляет половину центрального, а значит, половину меры дуги.

Из теоремы о вписанном угле сразу следует равенство углов, опирающихся на одну дугу. Каждый из них равен половине одной и той же величины. Положение вершин на окружности может быть разным, но при выборе одной и той же дуги результаты совпадут.

Диаметр делит окружность на две полуокружности, каждая из которых имеет меру 180°. Вписанный угол, стороны которого проходят через концы диаметра, опирается на такую полуокружность. Поэтому его мера равна 180° : 2 = 90°, то есть он прямой.

При решении задачи сначала найдите вершину угла: в центре или на окружности. Затем определите концы его сторон и выберите дугу между ними, на которую он опирается; для вписанного угла эта дуга не содержит вершину. После этого используйте равенство меры дуги и центрального угла или правило половины дуги.

Сравнение центрального и вписанного углов

Пользуйтесь таблицей после того, как определили положение вершины. Затем найдите соответствующую дугу и выберите формулу для её меры или меры угла.

Если известен центральный угол, вписанный угол на той же дуге вдвое меньше. Если известен вписанный угол, центральный угол и дуга вдвое больше него.

Разбор задач

Задача 1

В окружности с центром O центральный угол AOB равен 84°. Найдите меру дуги AB и вписанного угла ACB, опирающегося на эту дугу.

1. Угол AOB имеет вершину в центре, поэтому это центральный угол.
2. Мера дуги AB равна мере центрального угла: ⌢AB = 84°.
3. Угол ACB — вписанный и опирается на ту же дугу, поэтому ∠ACB = 84° : 2 = 42°.

Ответ: мера дуги AB равна 84°, ∠ACB = 42°.

Задача 2

Докажите, что два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, равны.

1. Пусть углы ACB и ADB опираются на дугу AB.
2. По теореме о вписанном угле каждый из них равен половине дуги AB: ∠ACB = ½⌢AB и ∠ADB = ½⌢AB.
3. Обе величины являются половинами одной и той же дуги, следовательно, они равны: ∠ACB = ∠ADB.

Ответ: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Задача 3

В окружности AB — диаметр, точка C лежит на окружности. Найдите угол ACB. Затем объясните обратное утверждение: почему из прямого вписанного угла следует, что соответствующая хорда является диаметром.

1. Диаметр AB ограничивает полуокружность, поэтому дуга AB имеет меру 180°.
2. Угол ACB опирается на эту дугу, значит, ∠ACB = 180° : 2 = 90°.
3. В обратную сторону: если ∠ACB = 90°, то дуга AB имеет меру 2 · 90° = 180°. Хорда, концы которой делят окружность на полуокружности, проходит через центр, поэтому AB является диаметром.

Ответ: ∠ACB = 90°; прямой вписанный угол опирается на диаметр.

Типичные ошибки

Ученик может перепутать центральный и вписанный углы по расположению сторон. Причина — внимание к радиусам и хордам вместо вершины. Сначала найдите вершину: центр означает центральный угол, окружность — вписанный.

Иногда вписанный угол принимают равным мере дуги, хотя он равен её половине. Такая ошибка возникает из-за запоминания правила для центрального угла. Проверьте вид угла и запишите формулу: ∠ = ½⌢.

Можно выбрать дугу, содержащую вершину вписанного угла. Но стороны угла проходят через концы другой дуги, не содержащей эту вершину. Отметьте концы хорд и мысленно соедините их по части окружности напротив вершины.

Нельзя считать любой угол, связанный с окружностью, прямым. Прямым он становится только тогда, когда опирается на диаметр, то есть на дугу 180°. Проверьте, проходят ли стороны угла через концы диаметра.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны знания о видах углов и их градусной мере, а также понятия хорды, диаметра, радиуса и окружности. Без них трудно определить вершину угла и нужную дугу.

Свойства центральных и вписанных углов применяются в задачах на хорды, диаметры и дуги. Они также помогают доказывать равенство углов без измерений.

Дальше эти результаты используются при изучении вписанных многоугольников и метрических соотношений в окружности. Особенно полезно правило о прямом угле, опирающемся на диаметр.

Что запомнить

• Вершина центрального угла находится в центре окружности.
• Вершина вписанного угла лежит на окружности.
• Мера дуги равна мере соответствующего центрального угла.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.