"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Теорема Фалеса связывает отрезки, которые параллельные прямые отсекают на сторонах угла: соответствующие отрезки оказываются пропорциональными. Если на одной стороне угла отметить равные промежутки, то на другой стороне получатся такие же равные промежутки. Это свойство позволяет построить деление отрезка на любое число равных частей: достаточно провести вспомогательный луч, отложить на нём нужное число равных отрезков и использовать параллельные прямые.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема Фалеса утверждает: если несколько параллельных прямых пересекают стороны угла, то отрезки, которые они отсекают на одной стороне, пропорциональны соответствующим отрезкам на другой. Например, если точки A₁ и A₂ лежат на одной стороне угла, а B₁ и B₂ — на другой, то отношения длин соответствующих промежутков можно приравнять. Условие о параллельности обязательно: без него теорему применять нельзя.
Пропорциональные отрезки — это отрезки, отношения длин которых равны. Если отрезкам A₁A₂ и B₁B₂ соответствуют отрезки A₂A₃ и B₂B₃, запись будет такой: A₁A₂ / B₁B₂ = A₂A₃ / B₂B₃. Такая запись нужна, чтобы сравнивать части на двух сторонах угла и находить неизвестную длину.
Деление отрезка на равные части — построение точек на отрезке так, чтобы все получившиеся соседние отрезки имели одинаковую длину. Например, при делении на четыре части нужны три внутренние точки. Такое построение позволяет получить равные части, даже если измерить или сразу отложить их на исходном отрезке неудобно.
Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются. В теореме Фалеса именно параллельность обеспечивает пропорциональность отрезков, а при построении задаёт направления, по которым переносят равные промежутки с вспомогательного луча на исходный отрезок. Параллель к заданной прямой через нужную точку можно провести с помощью линейки и циркуля.
Пусть две стороны угла пересекаются несколькими параллельными прямыми. Если соединить точки пересечения одной из параллелей со сторонами угла, получится треугольник с вершиной в вершине угла. Для другой параллели возникает ещё один треугольник с той же вершиной. Эти треугольники подобны: у них общий угол, а ещё одна пара углов равна, потому что образована параллельными прямыми и секущими.
У подобных треугольников соответствующие стороны относятся одинаково. Поэтому расстояния от вершины угла до соответствующих точек пересечения имеют один и тот же коэффициент пропорциональности. Если из равенства отношений расстояний вычесть соответствующие части, получим пропорцию и для промежутков между соседними параллелями. Именно так подобие объясняет заключение теоремы Фалеса, а не просто подсказывает готовую формулу.
Теорему можно применить и в обратном для построения направлении. Отложим на одной стороне угла равные отрезки, а через точки их концов проведём параллельные прямые. По теореме соответствующие отрезки на второй стороне будут пропорциональны исходным. Поскольку все отрезки на первой стороне равны, их отношения равны единице, и соответствующие отрезки на второй стороне тоже равны.
Чтобы разделить данный отрезок на n равных частей, обозначим его концы A и B. Из точки A проведём произвольный вспомогательный луч, не совпадающий с прямой AB, и отложим на нём подряд n равных отрезков. Обозначим последнюю точку C, а предыдущие точки — промежуточными. Затем проведём прямую BC: она станет ориентиром для направления параллелей.
Через каждую промежуточную точку луча проведём прямую, параллельную BC, до пересечения с AB. Эти точки пересечения вместе с A и B образуют границы частей исходного отрезка. На луче соседние промежутки равны, а проведённые прямые параллельны, поэтому по теореме Фалеса соответствующие промежутки на AB тоже равны. Число частей будет равно числу равных отрезков на луче, так что способ подходит для любого целого n, большего единицы.
| Ситуация | Что известно | Что следует или нужно сделать | Основание |
|---|---|---|---|
| Параллельные прямые пересекают стороны угла | Прямые параллельны и пересекают обе стороны угла | Составить пропорцию соответствующих отрезков | Теорема Фалеса, основанная на подобии треугольников |
| На одной стороне угла отложены равные отрезки | Отрезки между соседними точками равны, через точки проведены параллели | На другой стороне получаются равные соответствующие отрезки | Следствие теоремы Фалеса |
| Нужно разделить отрезок на n равных частей | Заданы отрезок и целое n, большее единицы | На вспомогательном луче отложить n равных отрезков и перенести деление параллелями | Теорема Фалеса |
| Роль вспомогательного луча и параллельных прямых | На луче удобно отложить одинаковые промежутки | Соединить его последнюю точку с концом отрезка и провести через промежуточные точки параллели | Параллели обеспечивают равенство соответствующих частей |
Сначала проверьте, что прямые действительно параллельны и пересекают обе стороны угла: без этого основание для пропорции отсутствует. Затем сопоставьте отрезки в одинаковом порядке, а при построении убедитесь, что число промежутков на луче равно числу нужных частей. Таблица связывает условие задачи с тем, какой вывод разрешено сделать.
Параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне соответствующие соседние отрезки равны 3 см и 5 см; требуется найти соответствующие отрезки на другой стороне, если один из них равен 6 см. В условии не указано, какому именно из двух отрезков соответствует длина 6 см, поэтому возможны два случая. Сохраним соответствие «3 к 5» и запишем пропорцию.
Ответ: второй отрезок равен 10 см в первом случае или 3,6 см во втором. Чтобы получить один ответ, в условии нужно уточнить, к какому отрезку относится длина 6 см. Такой разбор не позволяет случайно сопоставить несоответствующие части.
Нужно построить деление данного отрезка AB на четыре равные части линейкой и циркулем. Отрезок не требуется измерять: равенство частей появится благодаря параллельным прямым. На луче от точки A мы заранее создадим четыре равных промежутка, а затем перенесём их на AB.
Ответ: точки пересечения трёх параллелей с AB дают нужное деление на четыре равные части. При построении важно провести прямую BC до появления параллелей: она задаёт направление, необходимое для применения теоремы.
На одной стороне угла отложены равные отрезки длиной 2 см. Параллели через их концы пересекают вторую сторону; расстояние между соседними точками пересечения там равно 1,5 см. Нужно найти расстояние между первой и шестой параллелями. Между первой и шестой параллелями находится пять промежутков, а по следствию теоремы Фалеса все эти промежутки равны.
Ответ: 7,5 см. Длина 2 см на первой стороне подтверждает равенство шагов, но для вычисления искомого расстояния достаточно известной длины одного соответствующего промежутка на второй стороне.
Первая ошибка — применять теорему Фалеса, не проверив параллельность прямых. Её часто допускают, потому что расположение прямых на чертеже кажется параллельным, хотя чертёж может быть неточным. Перед составлением пропорции найдите в условии или докажите, что прямые параллельны.
Вторая ошибка — ставить в пропорцию отрезки, которые не соответствуют друг другу. Причина обычно в том, что точки на разных сторонах угла перечисляют в разном порядке. Проверьте себя: отрезки, ограниченные одними и теми же соседними параллелями, должны стоять рядом в пропорции.
Третья ошибка — отложить на вспомогательном луче не n равных отрезков. Так число частей исходного отрезка не совпадёт с требуемым, хотя сам приём будет выглядеть похожим. До построения запишите, сколько частей нужно, и пересчитайте именно промежутки, а не точки.
Четвёртая ошибка — провести параллели через точки луча, но не соединить последнюю точку с концом исходного отрезка. Без этой соединяющей прямой нет линии, параллельно которой должны идти остальные, и построение не задаёт нужного соответствия. Проверьте, что все параллели проведены именно к прямой, соединяющей последнюю точку луча с другим концом отрезка.
Для работы с теоремой Фалеса нужны знания о параллельных прямых и их свойствах, об отношениях длин отрезков, а также навык построения параллельной прямой. Теорема Фалеса затем помогает разбирать подобие треугольников: равенство углов и пропорции сторон связаны между собой. Построение равных частей пригодится в геометрических задачах, где требуется разделить отрезок или точно построить фигуру без измерения каждой части.
Какие условия должны быть выполнены, чтобы применить теорему Фалеса?
Две стороны угла должны пересекаться несколькими прямыми, параллельными друг другу. Тогда можно сравнивать отрезки, которые эти прямые отсекают на сторонах угла, соблюдая их соответствие.
Почему отрезки, отсекаемые параллельными прямыми, пропорциональны?
Параллельность даёт равные соответствующие углы, поэтому треугольники с общей вершиной угла подобны. У подобных треугольников отношения соответствующих сторон равны, откуда и получается пропорция отрезков.
Как определить число отрезков, которые нужно отложить на вспомогательном луче?
Если исходный отрезок нужно разделить на n равных частей, на луче откладывают ровно n равных отрезков. Например, для четырёх частей нужны четыре промежутка и пять точек с учётом начала луча.
Почему в построении проводят параллели именно через промежуточные точки луча?
Промежуточные точки задают границы будущих частей исходного отрезка. Проведённые через них параллели вместе с прямой, соединяющей последнюю точку луча с концом исходного отрезка, отсекают равные соответствующие отрезки.
Можно ли с помощью теоремы Фалеса разделить отрезок на любое целое число равных частей?
Да, построение работает для любого целого n, большего единицы. Нужно отложить на вспомогательном луче n равных отрезков и провести параллели через все промежуточные точки.
§ 13. Теорема Фалеса. Деление отрезка на равные отрезки
