§ 12. Трапеция

Определения и обозначения

Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Именно параллельность отличает её от произвольного четырёхугольника и помогает применять свойства параллельных прямых. Например, если в трапеции ABCD стороны AB и CD параллельны, это записывают AB ∥ CD.

Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а две остальные — боковыми сторонами. В записи AB ∥ CD стороны AB и CD будут основаниями, а AD и BC — боковыми. Такое обозначение сразу показывает, какие стороны участвуют в формулах и какие образуют углы у боковых сторон.

Высота трапеции — перпендикуляр, опущенный из вершины одного основания на прямую, содержащую другое основание. Высоту обозначают, например, h; её конец может лежать на продолжении основания, а не на самом отрезке. Высота нужна, чтобы определить расстояние между параллельными основаниями и находить длины других элементов.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Если боковые стороны — AD и BC, середины этих отрезков соединяют и получают среднюю линию. Она позволяет связать длину основания с длинами двух других сторон и вычислить среднее значение оснований.

Как это устроено

Поскольку основания трапеции параллельны, боковая сторона пересекает две параллельные прямые и служит секущей. Углы, лежащие внутри между прямыми по одну сторону от секущей, называются односторонними, и их сумма равна 180°. Поэтому углы при каждой боковой стороне трапеции дополняют друг друга до развёрнутого угла; это помогает находить неизвестный угол.

Представим, что меньшее основание расположено над большим, а из его концов опущены перпендикуляры на прямую большего основания. Перпендикуляры отсекают прямоугольник под меньшим основанием и два прямоугольных треугольника по краям. В прямоугольнике расстояние между основаниями равно высоте, а размеры треугольников помогают связать разность оснований с участками большего основания и боковыми сторонами.

Чтобы объяснить свойство средней линии, проведём диагональ трапеции. Она разделит фигуру на два треугольника, а середины боковых сторон окажутся серединами соответствующих сторон этих треугольников. По теореме о средней линии треугольника отрезки, соединяющие такие середины, параллельны диагонали и равны её половине. Из этого следует, что средняя линия трапеции параллельна основаниям, а её длина равна их полусумме: m = (a + b) / 2.

Если боковые стороны трапеции равны, трапецию называют равнобедренной. Симметрия такой фигуры объясняет, почему углы при каждом основании равны; из параллельности оснований соседние углы дополняют друг друга до 180°. Диагонали равнобедренной трапеции тоже равны: они образуют пары треугольников с равными боковыми сторонами и одинаковыми углами.

Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой боковая сторона перпендикулярна основаниям. Поскольку основания параллельны, такая сторона перпендикулярна обоим, а значит, измеряет расстояние между ними. Поэтому она одновременно является высотой; другой боковой стороной может быть наклонный отрезок.

Элементы и свойства трапеции

Сначала найдите в условии параллельные стороны: именно они являются основаниями, даже если рисунок выглядит иначе. Затем определите, какие элементы известны и что требуется найти. Формулы из таблицы применяйте только при выполнении указанного условия.

Разбор задач

Задача 1. В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны. Назовите основания и боковые стороны трапеции. Не нужно угадывать по расположению сторон на рисунке: решающим признаком служит параллельность, указанная в условии.

1. По определению основания трапеции — параллельные стороны.
2. Так как AB ∥ CD, основаниями будут AB и CD.
3. Оставшиеся стороны AD и BC являются боковыми.

Ответ: основания — AB и CD, боковые стороны — AD и BC.

Задача 2. Основания трапеции равны 8 см и 14 см. Найдите её среднюю линию. Поскольку известны оба основания, искать длины боковых сторон или высоту не требуется: подходит формула средней линии.

1. Обозначим основания a = 8 см и b = 14 см.
2. Подставим их в формулу m = (a + b) / 2.
3. Вычислим: m = (8 + 14) / 2 = 22 / 2 = 11 см.

Ответ: 11 см. Проверка здравого смысла: средняя линия должна быть между основаниями по длине, а 11 находится между 8 и 14.

Задача 3. В равнобедренной трапеции угол при большем основании равен 68°. Найдите остальные углы и укажите использованные свойства. Сначала используем равенство углов при одном основании, а затем — свойство углов при параллельных основаниях.

1. Угол при другом конце большего основания тоже равен 68°, потому что трапеция равнобедренная.
2. Каждый угол у боковой стороны вместе с соседним углом у меньшего основания составляет 180°.
3. Оба угла у меньшего основания равны 180° − 68° = 112°.

Ответ: два угла равны 68°, два других — 112°. Здесь использованы равенство углов при каждом основании равнобедренной трапеции и сумма односторонних углов при параллельных прямых.

Типичные ошибки

Ошибка — называть основаниями любые две стороны трапеции. Так бывает, если ученик ориентируется на рисунок или считает, что «основания» — просто стороны внизу и наверху. Проверьте, что выбранные стороны действительно параллельны: только они являются основаниями.

Высоту иногда принимают за боковую сторону, потому что на рисунке они могут выглядеть как один отрезок. Но высота обязана быть перпендикулярна прямым оснований, а наклонная боковая сторона этому условию не соответствует. Проверьте наличие прямого угла; совпадение возможно у боковой стороны прямоугольной трапеции.

Формулу средней линии ошибочно записывают как сумму оснований или забывают разделить сумму на 2. Причина часто в том, что неверно запоминают слово «полусумма». Подставьте простые числа, например 8 и 14: результат должен быть 11, то есть находиться между длинами оснований.

Свойства равнобедренной трапеции переносят на любую трапецию: считают боковые стороны, углы при основаниях или диагонали равными без основания. Такие свойства следуют именно из равенства боковых сторон, а не только из определения трапеции. Перед применением проверьте условие задачи: трапеция должна быть названа равнобедренной или это должно быть доказано.

Связь с другими темами

Для работы с трапецией нужно уметь распознавать параллельные прямые и применять свойства углов при параллельных прямых. Пригодятся также определения четырёхугольника, перпендикуляра и высоты, а для средней линии — понятия середины отрезка и теорема о средней линии треугольника.

Трапеция встречается при изучении площадей фигур: её высота помогает связать основания с площадью. Разбиение трапеции на треугольники позволяет применять подобие и находить неизвестные длины. Эти же идеи используют в задачах, где нужно рассчитать углы или установить отношения между отрезками.

Что запомнить

• Основания трапеции параллельны.
• Боковые стороны не являются основаниями.
• Высота перпендикулярна прямым, содержащим основания.
• Средняя линия соединяет середины боковых сторон.
• Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Углы при одной боковой стороне в сумме дают 180°.
• У равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.